Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 5.4) для одномерного (по оси х) движения частицы.
Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можно записать:
{ 0, x<0, 1 обл.
U(x) = { U, 0<x<1, 2 обл.
{ 0, x>1, 3 обл.
При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.
Для микрочастиц же, даже при E < U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E > U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.
Уравнение Шредингера для состояний каждой из выделенных областей имеет вид:
1,3: ∂2Ψ1,3/∂x2 + k2Ψ1,3 = 0 k2 = 2mE/ħ2
2: ∂2Ψ2/∂x2 + q2Ψ2 = 0 q2 = 2m(E - U(x))/ħ2
Общее решение этих дифференциальных уравнений:
1: Ψ1(x) = A1eikx + B1e-ikx
2: Ψ2(x) = A2eiqx + B2e-iqx
3: Ψ3(x) = A3eikx + B3e-ikx
В данном случае q = iβ – мнимое число, где β = sqrt(2m(U-E))/ħ
Можно показать, что A1 = 1 (амплитуда падающей на барьер волны де Бройля = 1), B3 = 0 (т.к. в области 3 будет распространяться только проходящая волна), тогда, учитывая значение q,получим решение уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:
1: Ψ1(x) = eikx + B1e-ikx
2: Ψ2(x) = A2eiqx + B2e-iqx
3: Ψ3(x) = A3eikx
В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые, а действительные.
Качественный анализ функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) показан на рисунке сверху. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.
Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению – туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может пройти через барьер.
Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы
D = D0exp(-(2/ħ)sqrt(2m(U-E))l)
Для барьера произвольной формы
D = D0exp(-(2/ħ)x1∫x2sqrt(2m(U-E))dx)
Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезке Δx = l составляет Δp > ħ/l Связанная с этим разбросом кинетическая энергия Δp2/2m может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти через барьер.
С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E < U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.
Строгое квантово-механическое решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения. Оказывается, что можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области (xmin, xmax) (рис. 5.5), т.е. за точками 0 и l.
Рис. 5.5
Это означает, что частица может прибывать там, где ее полная энергия меньше потенциальной энергии. Это оказывается возможным вследствие туннельного эффекта.
Основы теории туннельных переходов заложены работами советских ученых Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928 г. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например α-распад, протекание термоядерных реакций).
