Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы U(x) имеет вид
U(x) = { ∞, 0 > x > a
{ 0, 0 < x < a
т.е. всюду внутри ямы (0<x<a) потенциальная энергия U(x) постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность.
Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси x
∂2Ψ/∂x2 + (2m/ħ2)(E - U(x))Ψ = 0
Вне ямы потенциальная энергия обращается в бесконечность, волновая функция Ψ(x) обращалась в ноль.
В силу непрерывности волновая функция Ψ(x) должна обращаться в нуль и на границах ямы: при x = 0 при x = a.
Таким образом, задача о движении частицы в яме сводится к решению уравнения
∂2Ψ/∂x2 + (2m/ħ2)EΨ = 0 , 0 < x < a
Введем обозначение
k = sqrt(2mE/ħ2)
При этом уравнение принимает вид
Ψ’’ + k2Ψ = 0
решение которого есть
Ψ(x) = Asin(kx + ɑ)
Используя граничное условие Ψ(0)=0, получим
Asinα=0 , откуда следует, что
α=±πm, где m=0, 1, 2,...
Отметим, что при четных значениях m и при m=0
Ψ(x) = Asin(kx)
при нечетных значениях m
Ψ(x) = -Asin(kx)
Поскольку, физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля |Ψ(x)|2, который от выбора значения m, т.е. от знака Ψ(x) не зависит.
Второе граничное условие Ψ(a)=0 приводит к соотношению
Asin(ka) = 0
которое для А≠0 выполняется при
ka=±πn, n=1,2,3,…
Подставляя k = sqrt(2mE/ħ2) в ka=±πn, n=1,2,3,… приходим к выражению для полной энергии частицы, движущейся в потенциальной яме с непроницаемыми стенками.
En = (π2ħ2/2ma2)n2, n=1,2,3,…
Важной особенностью полученного энергетического спектра является его дискретность. Частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретные значения энергии. Решение уравнения Шредингера к квантованию энергии не приводит, квантование возникает из-за граничных условий, накладываемых на волновую функцию, т.е. из-за равенства нулю волновой функции на границе потенциальной ямы. Число n называется квантовым числом, а соответствующее ему значение En — уровнем энергии. Состояние частицы с наименьшей энергией, в данном случае с n = 1, называется основным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными: значение n = 2 отвечает первому возбужденному состоянию, значение n = 3 — второму возбужденному состоянию и т.д.
