пользователей: 21251
предметов: 10459
вопросов: 177801
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Уравнение Шредингера.


kpdHUoUAcXdg9Hy07aB87d33dJf3vYNlnrdqxllD9qFxKw9ZZVy_HYFrYrA4a53yHVisqnzAgWI4wUWhd13FvhepD_euyNbqYbc3KbqYPXBXBCRfw9GGY1KG

Основное уравнение нерелятивистской квантовой теории — уравнение Шредингера

Данное уравнение было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних представлений и теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом.

 

Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому водорода и получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий со спектром по первоначальной теории Бора и соответственно — с результатами наблюдений.

 

Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике.

Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

(*)    iħ(∂Ψ/∂t) = -ħ2/2m ∇2Ψ + UΨ-e59kOVqMSyRbRixwJWxkMfBB2CZusynf7dGGCHx

где i — мнимая единица, m — масса частицы, ∇2 — оператор Лапласа, U — потенциальная энергия (мы ограничимся рассмотрением потенциальных силовых полей, для которых функция U(ψ) не зависит явно от времени).

 

Обратим внимание на следующую особенность уравнения. В то время как, согласно интерпретации Ψ-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия U рассматривается в уравнении как функция локализованной точечной частицы в силовом поле.


ZNMdE8PQ0kAL-_B-thT2pbx7WeK2K6hTjqbbUFpM

Стационарные состояния. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама Ψ-функция, как уже говорилось, принципиально ненаблюдаема. В стационарных состояниях она имеет вид

(**)    Ψ(r, t) = Ψ(r) e-iωt    где e = E/ħ

где Ψ(r) не зависит от времени.

 

При таком виде Ψ-функции плотность вероятности Р остается постоянной. В самом деле,

    P = ΨΨ* = Ψ(r)Ψ*(r)

т. е. действительно, плотность вероятности Р от времени не зависит.

Для нахождения функции Ψ(r) в стационарных состояниях подставим выражение (**) в уравнение (*), и мы получим

(***)    -ħ2/2m ∇2Ψ + UΨ = EΨ

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В отличие от него, (*) называют временным или общим уравнением Шредингера.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с уравнением (***) и будем записывать его (как это обычно принято) в виде

    ∇2Ψ + (2m/ħ2)(E - V)Ψ = 0

 

Еще раз напомним, что потенциальная энергия — функция U(T) — здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.

 

Из слайдиков:

Общее временное уравнение Шредингера, позволяющее определить в любой момент времени волновую функцию Ψ для частицы массы m, движущейся в силовом поле F =-gradU, описываемом скалярной потенциальной функцией U(x,y,z,t), имеет вид

    iħ(∂Ψ/∂t) = -ħ2/2m ΔΨ + UΨ

 

Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой де Бройля и вытекающим из неё корпускулярно-волновым дуализмом материи. Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться, что для свободной частицы, с кинетической энергий E=p2/2m, движущейся в отсутствие силовых полей (U=0, F=0) в направлении оси x, решением соответствующего уравнения Шредингера

iħ(∂Ψ/∂t) = -(ħ2/2m) (∂2Ψ/∂x2)

является волновая функция

    Ψ(x, t) = A exp[-(i/ħ) (Et - px)]

 

А вообще, имеет смысл открыть Википедию "Уравнение Шрёдингера" и посмотреть оттуда функции, зависимые от различных величин.


16.01.2014; 12:37
хиты: 0
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь