Основное уравнение нерелятивистской квантовой теории — уравнение Шредингера
Данное уравнение было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних представлений и теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом.
Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому водорода и получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий со спектром по первоначальной теории Бора и соответственно — с результатами наблюдений.
Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике.
Уравнение Шредингера имеет следующий вид:
(*) iħ(∂Ψ/∂t) = -ħ2/2m ∇2Ψ + UΨ
где i — мнимая единица, m — масса частицы, ∇2 — оператор Лапласа, U — потенциальная энергия (мы ограничимся рассмотрением потенциальных силовых полей, для которых функция U(ψ) не зависит явно от времени).
Обратим внимание на следующую особенность уравнения. В то время как, согласно интерпретации Ψ-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия U рассматривается в уравнении как функция локализованной точечной частицы в силовом поле.
Стационарные состояния. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама Ψ-функция, как уже говорилось, принципиально ненаблюдаема. В стационарных состояниях она имеет вид
(**) Ψ(r, t) = Ψ(r) e-iωt где e = E/ħ
где Ψ(r) не зависит от времени.
При таком виде Ψ-функции плотность вероятности Р остается постоянной. В самом деле,
P = ΨΨ* = Ψ(r)Ψ*(r)
т. е. действительно, плотность вероятности Р от времени не зависит.
Для нахождения функции Ψ(r) в стационарных состояниях подставим выражение (**) в уравнение (*), и мы получим
(***) -ħ2/2m ∇2Ψ + UΨ = EΨ
Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В отличие от него, (*) называют временным или общим уравнением Шредингера.
В дальнейшем мы будем иметь дело только с уравнением (***) и будем записывать его (как это обычно принято) в виде
∇2Ψ + (2m/ħ2)(E - V)Ψ = 0
Еще раз напомним, что потенциальная энергия — функция U(T) — здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.
Из слайдиков:
Общее временное уравнение Шредингера, позволяющее определить в любой момент времени волновую функцию Ψ для частицы массы m, движущейся в силовом поле F =-gradU, описываемом скалярной потенциальной функцией U(x,y,z,t), имеет вид
iħ(∂Ψ/∂t) = -ħ2/2m ΔΨ + UΨ
Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой де Бройля и вытекающим из неё корпускулярно-волновым дуализмом материи. Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться, что для свободной частицы, с кинетической энергий E=p2/2m, движущейся в отсутствие силовых полей (U=0, F=0) в направлении оси x, решением соответствующего уравнения Шредингера
iħ(∂Ψ/∂t) = -(ħ2/2m) (∂2Ψ/∂x2)
является волновая функция
Ψ(x, t) = A exp[-(i/ħ) (Et - px)]
А вообще, имеет смысл открыть Википедию "Уравнение Шрёдингера" и посмотреть оттуда функции, зависимые от различных величин.
