Примечание: когда написана какая-нибудь буква, а после нее няшная галочка ^ — это оператор. Галочку нужно переносить над букву, а не после нее. Например если здесь написано Q^, то на самом деле это 
Операторы. Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией, например оператор дифференцирования можно представить так:
Q^ f(x) ≡ ∂f(x)/∂x
Операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например Q^, и его действие на некоторую функцию f(x) записывают как Q^ f(x).
Свойства операторов:
1) сложение: (A^ + B^)f(x) = A^f(x) + B^f(x)
2) произведение: A^B^f(x) = A^(B^f(x))
3) коммутация: не всегда A^B^ = B^A^. Если такое равнество соблюдается, то говорят что A^ и B^ коммутируют друг с другом. Иначе операторы некоммутирующие.
(x(∂/∂x))f = x(∂f/∂x), ((∂/∂x)x)f = (∂/∂x)(xf) = 1 + x∂f/∂x
x(∂/∂x) ≠ (∂/∂x)x — некоммутируют
4) линейность: оператор называется линейным, если для любых двух функций f1 и f2 и любых двух констант α1 и α2 выполняется соотношение:
A^ = (α1f1 + α2f2) = α1A^f1 + α2A^f2
Операторы физических величин
x^ = x
px^ = -iħ(∂/∂x)
Операторы x^ и px^ являются основными в квантовой теории.
Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково:
формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.
Другие операторы
H^ = K^ + U^ = - (ħ2/2m)∇2 + U — оператор полной энергии (гамильтониан)
M = r ⨯ p = | i j k |
| x y z |
| px py pz | — оператор момента импульса
Состояние, в котором физическая величина Q имеет определенное значение, описывается Ψ-функцией, являющейся решением уравнения
Q^Ψ = QΨ
Найдем среднее значение Q в состоянии, описываемое Ψ-функцией, тогда
〈Q〉 = ∫Ψ* Q^ Ψ dV = ∫Ψ*QΨ dV = Q∫Ψ*Ψ dV = Q
(с учетом того что -∞∫+∞ΨΨ* dV = 1 )
Таким образом, Ψ-функция описывает собственные состояния, т.е. физический смысл будут иметь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие – т.е. удовлетворяют естественным или стандартным условиям.
----
Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины Q находится по формуле
〈Q〉 = ∫Ψ* Q^ Ψ dx
где Q^ — оператор физической величины Q.
