пользователей: 21258
предметов: 10464
вопросов: 177980
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Основы квантовой теории. Операторы.

Примечание: когда написана какая-нибудь буква, а после нее няшная галочка ^ — это оператор. Галочку нужно переносить над букву, а не после нее. Например если здесь написано Q^, то на самом деле это _agRyX8KckcSS15H4W48UB6lIcAoLKZv8tYGNttE.

Операторы. Оператором называют символическое обозначе­ние математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией, например оператор дифференцирования можно представить так:

    Q^ f(x) ≡ ∂f(x)/∂x

Операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например Q^, и его действие на некоторую функцию f(x) записывают как Q^ f(x).

Свойства операторов:

1) сложение: (A^ + B^)f(x) = A^f(x) + B^f(x)

2) произведение: A^B^f(x) = A^(B^f(x))

3) коммутация: не всегда A^B^ = B^A^. Если такое равнество соблюдается, то говорят что A^ и B^ коммутируют друг с другом. Иначе операторы некоммутирующие.

    (x(∂/∂x))f = x(∂f/∂x),    ((∂/∂x)x)f = (∂/∂x)(xf) = 1 + x∂f/∂x

    x(∂/∂x) ≠ (∂/∂x)x — некоммутируют

 

4) линейность: оператор называется линейным, если для любых двух функций f1 и f2  и любых двух констант α1 и α2 выполняется соотношение:

    A^ = (α1f1 + α2f2) = α1A^f1 + α2A^f2

 

Операторы физических величин

    x^ = x

    px^ = -iħ(∂/∂x)

Операторы x^ и px^ являются основными в квантовой теории.

Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково:

формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

Другие операторы

    H^ = K^ + U^ = - (ħ2/2m)∇2 + U — оператор полной энергии (гамильтониан)

    M = r ⨯ p =     | i    j    k    |

            | x    y    z    |

            | px    py    pz    | — оператор момента импульса

 

Состояние, в котором физическая величина Q имеет определенное значение, описывается Ψ-функцией, являющейся решением уравнения

    Q^Ψ = QΨ

Найдем среднее значение Q в состоянии, описываемое Ψ-функцией, тогда

    〈Q〉 = ∫Ψ* Q^ Ψ dV = ∫Ψ*QΨ dV = Q∫Ψ*Ψ dV = Q

(с учетом того что -∞+∞ΨΨ* dV = 1 )

 

Таким образом, Ψ-функция описывает собственные состояния, т.е. физический смысл будут иметь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие – т.е. удовлетворяют естественным или стандартным условиям.

 

----

Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины Q находится по формуле

    〈Q〉 = ∫Ψ* Q^ Ψ dx

где Q^ — оператор физической величины Q.


16.01.2014; 12:31
хиты: 0
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь