Отклонения α-частиц обусловлены воздействием на них со стороны атомных ядер. Заметного отклонения из-за взаимодействия с электронами не может быть, поскольку масса электрона на четыре порядка меньше массы α-частицы. Когда частица пролетает вблизи ядра, на нее действует кулоновская сила отталкивания. В этом случае траектория частицы представляет собой гиперболу:
Расстояние b от ядра до первоначального направления полета α -частицы называется прицельным параметром. Чем ближе пролетает частица от ядра (чем меньше b), тем, естественно, сильнее она откланяется (тем больше θ). Между величинами b и θ имеется функциональная связь:
tg(θ/2) = Z1Z2e2/2bT
В формуле T — кинетическая энергия α — частицы массой m, движущейся со скоростью υ; Z2e — заряд ядра.
Рассмотрим тонкий слой рассеивающего вещества, настолько тонкий (например, в эксперименте Резерфордом использовалась фольга толщиной 10-4см), чтобы каждая налетающая частица пучка претерпевала лишь однократное отклонение. Из рис. видно, что для отклонения в интервале углов (θ, θ + dθ) прицельный параметр должен быть заключен в интервале (b, b+db). При этом значения dθ и db будут связаны соотношением вида:
db = (Z1Z2e2/2T)*(dθ/2sin2(θ/2))
Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что знаки dθ и db взаимно противоположны. Пусть площадь поперечного сечения узкого пучка налетающих частиц равна S. Тогда число ядер рассеивающего тонкого слоя будет равна nS, n – число атомов (рассеивающих центров) в расчете на единицу поверхности.
При этом относительное число частиц, имеющих прицельный параметр b в интервале (b, b + db) и, значит, рассеянных в интервале углов (θ, θ + dθ), будет равно
dN/N = dS/S = nS*2πb*db/S = n*2πb*db
где dS – суммарная площадь колец в сечении S пучка, dN – поток частиц, рассеянных в интервале углов (q, q +dq), и N – поток падающих частиц в пучке. В итоге получим
dN/N = n*(Z1Z2e2/2T)2*2π*(cos(θ/2)*dθ/2sin3(θ/2))
Умножив числитель и знаменатель правой части этого равенства на sin(θ/2). Тогда запишем
dN/N = n*(Z1Z2e2/2T)2*2π*(sin(θ)*dθ/4sin4(θ/2)) =
= n*(Z1Z2e2/4T)2*(dΩ/4sin4(θ/2))
где dΩ = 2π∙sinθdθ - элемент телесного угла, в пределах которого заключены углы рассеяния (θ, θ + dθ). Это и есть формула Резерфорда удобная для экспериментальной проверки.
