Согласно гипотезе де Бройля каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения.
По гипотезе де Бройля движущейся частице, обладающей энергией E и импульсом, p соответствует волновой процесс, частота которого равна
ω = E/ħ; ν = E/h; λ = h/p = 2πħ/p
Известно, что плоская волна с частотой, ω распространяющаяся вдоль оси x, может быть представлена в комплексной форме
ζ(x, t) = Aexp[-i(ωt - kx)]
где A — амплитуда волны, k — волновое число.
Согласно гипотезе де Бройля свободной частице с энергией E и импульсом p, движущейся вдоль оси x, соответствует плоская волна
Ψ = Aexp[-i/ħ(Et - px)]
распространяющаяся в том же направлении и описывающая волновые свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля. Соотношения, связывающие волновые и корпускулярные свойства частицы
E = hν = ħω; p = hν/c = h/λ = kħ
где p — импульс частицы, а k — волновой вектор, получили название уравнений де Бройля.
Рассмотрим свойства, которыми обладают волны де Бройля. Прежде всего, следует отметить, что волны материи - волны де Бройля - в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам.
Найдем фазовую скорость волн де Бройля υф, т.е. скорость, с которой распространяются точки волны с постоянной фазой.
Пусть частица движется вдоль оси x, тогда условие постоянства фазы волны имеет вид
Et - px = const
Дифференцируя это соотношение, находим
υф = dx/dt = E/p
Поскольку E = mc2, p = mυ, где m - релятивистская масса частицы, а ν - ее скорость, то для фазовой скорости волны де Бройля получаем следующее выражение:
υф = c2/υ
Так как υ < c, то фазовая скорость волны де Бройля υф оказывается больше скорости света в вакууме c. Это не противоречит теории относительности, которая запрещает движение со скоростью, большей скорости света. Ограничения, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на ее величину не накладывается никаких ограничений.
Найдем теперь групповую скорость υгр волны де Бройля. По определению
υгр = dω/dk
Преобразуя это выражение, получаем:
υгр = d(ħω)/d(ħk) = dE/dp
Связь между E и p для частицы, согласно теории относительности, определяется соотношением:
E2 = p2c2 + m02c4
где m0 — масса покоя частицы.
Дифференцируя это выражение, находим:
2EdE = 2pc2dp
или dE/dp = pc2/E
Таким образом,
υгр = pc2/E = pc2/mc2 = p/m = υ
т.е. групповая скорость волны де Бройля υгр равна скорости движения частицы υ.
