Комптон предположил, что рассеяние рентгеновского кванта с изменением длины волны надо рассматривать как результат одиночного акта столкновения его с электроном. Рассмотрим столкновение фотона со свободным электроном с учетом того, что при этом должны соблюдаться законы сохранения энергии и импульса. Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской динамики.
Пусть на первоначально покоившийся свободный электрон с энергией покоя mc2 падает фотон с энергией и импульсом ε/с. После столкновения энергия фотона станет равной ε', а энергия и импульс электрона отдачи Е' и р'. Согласно законам сохранения энергии и импульса системы фотон-электрон, запишем до и после столкновения следующие равенства:
(1) ε + mc2 = ε’ + E’
(2) p’2 = (ε/c)2 + (ε’/c)2 - 2(εε’/c2) cos θ
где второе равенство записано на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов.
Имея в виду, что связь между энергией и импульсом релятивистского электрона согласно (П.З) имеет вид
(3) E’2 -p’2c2 = m2c4
найдем Е’2 из формулы (1) и р’2с2 из (2):
(4) E’2 = (ε - ε’ + mc2)2 = ε2 + ε’2 + m2c4 -2εε’ + 2εmc2 - 2ε’mc2
(5) (p’c’)2 = ε2 + ε’2 - 2εε’cos θ
Вычтя в соответствии с (3) выражение (5) из (4) и приравняв полученный результат т2с4, получим после сокращений:
ε - ε’ = (εε’/mc2) * (1 - cos θ)
Остается учесть, что ε = ħω и ε' = ħω', а также связь между и (ω = 2πc/λ), мы получим:
λ’ - λ = Λk (1 - cos θ)
где Λk — комптоновская длина волны частицы массы m,
Λk = 2πħ/mc
Для электрона Λk = 2,43*10-10 см. Универсальная постоянная Λk является одной из важнейших атомных констант.
