пользователей: 21252
предметов: 10461
вопросов: 177855
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Гипотеза Планка. Формула Планка.

Излучение испускается и поглощается веществом не непрерывно, а конечными порциями энергии, которые Планк назвал квантами. Энергия кванта вычисляется по формуле:

    E = hν или E = ħω

где h = 4·10–15 эВ·с = 6·10–34 Дж·с — постоянная Планка, ħ = h/2π — постоянная Дирака

 

Основное отличие квантовой теории излучения от классической обнаруживается уже при расчете средней энергии излучения частоты ω. С учетом гипотезы Планка средняя энергия излучения определяется по формуле

    〈ε〉 = ∑(n = 0…∞) Pnεn

Здесь εn = nħω — возможные значения энергии излучения, а Pn— вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре T излучение будет иметь энергию εn.

 

Вероятность  Pn можно оценить с помощью распределения Больцмана, записав ее с точностью до некоторой константы в виде Pn = Ae^(-εn/kT), с учетом ∑(n = 0…∞) Pn = 1, тогда константа A:

    A = [ ∑(n = 0…∞) e^(-εnkT) ]^-1

Таким образом, в квантовой теории излучения среднее значение энергии излучения частоты ω определяется следующим выражением:

(*)    〈ε〉     = ∑(n = 0…∞) nħωe^(-nħω/kT) / ∑(n = 0…∞) e^(-nħω/kT) =

        = ∑(n = 0…∞) ne^(-nξ) / ∑(n = 0…∞) e^(-nξ), где ξ = ħω/kT

 

Сумму, стоящую в знаменателе формулы (*), определим по формуле геометрической прогрессии:

    S = ∑(n = 0…∞) e^(-nξ) = 1/(1-e^(-ξ))

Формально дифференцируя это соотношение по ξ, находим сумму ряда, стоящего в числителе формулы (*)

    ∑(n = 0…∞) ne^(-nξ) = -dS/dξ = e^(-ξ)/(1-e^(-ξ))2

 

Подставляя найденные значения сумм в (*), получаем окончательно выражение для средней энергии излучения частоты ω в квантовой теории

(**)    E = ħω/(e^(-ħω/kT) - 1)

 

Получим известную формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения:

    uωT = (ħω32c3)*(1/(e^(ħω/kT) - 1)

Для Функции Кирхгофа:

    f(ω или ν или λ, T)     = rωT = (ħω3/4π2c2)*(1/(e^(ħω/kT) - 1)

                = rνT = (2πhν3/c2)*(1/(e^(hν/kT) - 1)

                = rλT = (4π2ħc25)*(1/(e^(2πħc/kTλ) - 1)

В виде картинок:ZVAmLwjcWHuiETObtV1MdoYxMRmXAwYzohg0pNZ3X-4Bfy5gE5X1c4C6NiR-_vbQ6rjiWeBDKCwEJvNZ COo3SnkoUtV8u-SY2lBGk7eJ3ehlJ4DVVpvA5k1L

 

На малых частотах, когда ħω/kT << 1 и e^(ħω/kT) ≈ 1 + ħω/kT из (**) приходим к формуле классической теории (получим формулу Релея-Джинса):

    〈ε〉 = kT

rωT = (ω2/4π2c2)kT

 

На малых частотах, когда ħω/kT >> 1 и e^(ħω/kT) >> 1 приходим к формуле, предсказанной Вином:

    rωT = (ħω3/4π2c2)*e^(-ħω/kT)


IDgJGY5H3ilGYJRZUzcgk511Q_AHkez9yNvtJ5QeMYbN2n8KaXlBOCTOKPz9kcZQYRjwOmoRTKMKm6w5


16.01.2014; 12:15
хиты: 0
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь