Излучение испускается и поглощается веществом не непрерывно, а конечными порциями энергии, которые Планк назвал квантами. Энергия кванта вычисляется по формуле:
E = hν или E = ħω
где h = 4·10–15 эВ·с = 6·10–34 Дж·с — постоянная Планка, ħ = h/2π — постоянная Дирака
Основное отличие квантовой теории излучения от классической обнаруживается уже при расчете средней энергии излучения частоты ω. С учетом гипотезы Планка средняя энергия излучения определяется по формуле
〈ε〉 = ∑(n = 0…∞) Pnεn
Здесь εn = nħω — возможные значения энергии излучения, а Pn— вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре T излучение будет иметь энергию εn.
Вероятность Pn можно оценить с помощью распределения Больцмана, записав ее с точностью до некоторой константы в виде Pn = Ae^(-εn/kT), с учетом ∑(n = 0…∞) Pn = 1, тогда константа A:
A = [ ∑(n = 0…∞) e^(-εnkT) ]^-1
Таким образом, в квантовой теории излучения среднее значение энергии излучения частоты ω определяется следующим выражением:
(*) 〈ε〉 = ∑(n = 0…∞) nħωe^(-nħω/kT) / ∑(n = 0…∞) e^(-nħω/kT) =
= ∑(n = 0…∞) ne^(-nξ) / ∑(n = 0…∞) e^(-nξ), где ξ = ħω/kT
Сумму, стоящую в знаменателе формулы (*), определим по формуле геометрической прогрессии:
S = ∑(n = 0…∞) e^(-nξ) = 1/(1-e^(-ξ))
Формально дифференцируя это соотношение по ξ, находим сумму ряда, стоящего в числителе формулы (*)
∑(n = 0…∞) ne^(-nξ) = -dS/dξ = e^(-ξ)/(1-e^(-ξ))2
Подставляя найденные значения сумм в (*), получаем окончательно выражение для средней энергии излучения частоты ω в квантовой теории
(**) E = ħω/(e^(-ħω/kT) - 1)
Получим известную формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения:
uωT = (ħω3/π2c3)*(1/(e^(ħω/kT) - 1)
Для Функции Кирхгофа:
f(ω или ν или λ, T) = rωT = (ħω3/4π2c2)*(1/(e^(ħω/kT) - 1)
= rνT = (2πhν3/c2)*(1/(e^(hν/kT) - 1)
= rλT = (4π2ħc2/λ5)*(1/(e^(2πħc/kTλ) - 1)
В виде картинок:
На малых частотах, когда ħω/kT << 1 и e^(ħω/kT) ≈ 1 + ħω/kT из (**) приходим к формуле классической теории (получим формулу Релея-Джинса):
〈ε〉 = kT
rωT = (ω2/4π2c2)kT
На малых частотах, когда ħω/kT >> 1 и e^(ħω/kT) >> 1 приходим к формуле, предсказанной Вином:
rωT = (ħω3/4π2c2)*e^(-ħω/kT)
