Монохроматическая волна - это математическая идеализация. Таких волн в природе нет. Любая волна может представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ω в интервале Δω. Суперпозицию волн, отличающихся друг от друга по частотам (Δω << ω), называют волновым пакетом или группой волн. В пределах пакета монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета гасят друг друга
.
В вакууме все монохроматические волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью
υ = ω/k
С такой же скоростью распространяется в вакууме и сам волновой пакет, не изменяя своей формы.
В Диспергирующей среде волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга.
Пусть дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Припишем волновому пакету скорость u, с которой перемещается «центр тяжести» пакета. Тогда u – будет групповой скоростью. Тогда
u = dω/dk
На рисунке а) показано относительное расположение двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличным друг от друга частотами. На рис. б) результат суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с
максимальной амплитудой это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость.
Пусть уравнения этих монохроматических волн имеют вид:
Е1 = A cos(ωt - kx);
E2 = A cos [(ω + dω)t - (k + dk)x)]
В результате их наложения образуется суммарная волна:
E = E1 + E2 = 2A cos((tdω - xdk)/2) cos(ωt - kx)
Это выражение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется по закону:
A0 = |2A cos((tdω - xdk)/2)|
Отсюда следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды, движутся по закону:
tdω – xdk = 0
Откуда x = (dω/dk)t. Величина в скобках и есть групповая скорость.
Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде.
u = d/dk (υk) = υ + kdυ/dk
Так как k = 2π/λ и dk = -(2π/λ2)dλ, то перепишем предыдущее выражение так:
u = υ - λ(dυ/dλ)
Это и есть формула Релея.
В области нормальной дисперсии (dυ/dλ > 0) групповая скорость u оказывается меньше фазовой скорости υ. В отсутствие дисперсии dυ/dλ = 0 групповая скорость совпадает с фазовой.
