Дифракция Френеля электромагнитных волн на простейших препятствиях (на круглом отверстии, круглом диске, крае полуплоскости). Спираль Корню. Зоны Шустера

 

Дифракция от круглого отверстия

Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r0 . Экран расположен так, что перпендикуляр, опущенный из S на непрозрачный экран, попадает точно в центр отверстия.

На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку M и рассмотрим, что мы будем наблюдать на экране.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке М всеми зонами,

    A =    { 1/2(A1 + Am), если m — нечетное

        { 1/2(A1 - Am), если m — четное

Таким образом, когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке М  будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю.

Естественно, что если r0 >> λ , то никакой дифракционной картины не будет.

 

Дифракция от диска

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск (рис. 9.4).      

Точка M лежит на перпендикуляре к центру диска. Первая зона Френеля строится от края диска и т. д.

Амплитуда световых колебаний в точке M равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной. Если размер диска невелик (охватывает небольшое число зон), то действие первой зоны немногим отличается от действия центральной зоны волнового фронта. Таким образом, освещенность в точке M будет такой же, как и в отсутствие экрана. Вследствие симметрии центральная светлая точка будет окружена кольцами света и тени (вне границ геометрической тени).

Парадоксальное, на первый взгляд, заключение, в силу которого в самом центре геометрической тени может находиться светлая точка, было выдвинуто Пуассоном в 1818 г. и впоследствии было названо его именем. «Пятно Пуассона» подтверждает правильность теории Френеля.

__________________________________________________________

АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ОТВЕТ НА ТОТ ЖЕ ВОПРОС

___________________________________________________________

Дифракция электромагнитных волн на круглом отверстии в плоском экране.

 

Пусть экран с отверстием радиуса расположен так, так что центр отверстия расположен на прямой, перпендикулярной плоскости экрана с отверстием, соединяющей точку наблюдения и точку источника (рис. 5.14). 'Разобьем' поверхность волнового фронта, падающего на отверстие, на зоны Френеля по отношению к точке наблюдения . Будем называть открытыми такие зоны Френеля, которые располагаются внутри отверстия. Соответственно зоны Френеля, попадающие на поверхность непрозрачного экрана, называются закрытыми.

Если размер отверстия во много раз меньше расстояний от экрана до источника и от экрана до точки наблюдения , то можно найти число открытых отверстием зон Френеля:

Применяя тот же подход, получим в точке наблюдения :

где - амплитуды волн от открытых отверстием зон Френеля, причём, знак плюс берётся для нечётных зон, а минус - для чётных.

Как отмечалось ранее, амплитуды волн зон Френеля при их небольшом числе можно считать примерно одинаковыми. По этой причине в точке будет либо максимум, либо минимум интенсивности дифрагированной волны от отверстия в зависимости соответственно от нечётности или чётности числа открытых зон Френеля.

Заметим, что без экрана с отверстием амплитуда поля в точке наблюдения равна . Таким образом, благодаря явлению дифракции света на экране с отверстием, открывающем небольшое нечётное число зон Френеля, наблюдается увеличение интенсивности падающего на него света почти в два раза.

Дифракция на диске.

Пусть свет из точки источника (рис.) освещает непрозрачный диск радиуса , за которым на прямой, перпендикулярной плоскости диска и проведенной через его центр, располагается точка наблюдения . Как и выше, будем считать, что размер диска во много раз меньше расстояний от диска до источника и от диска до точки наблюдения .

Предположим, что диск из точки наблюдения 'закрывает' зон Френеля. Тогда амплитуда света в точке наблюдения будет равна алгебраической сумме амплитуд волн открытых зон Френеля:

Учитывая, что амплитуды соседних зон Френеля примерно равны друг другу, однотипные выражение в скобках можно положить равными нулю, и тогда получим

Отсюда следует, что в центре дифракционной картины, создаваемой диском, всегда наблюдается светлое пятно, независимо от размеров диска.

Дифракционная картина от диска, наблюдаемая на экране, имеет характер чередующихся тёмных и светлых колец, в центре которых находится светлое пятно. Структура дифракционной картины света от непрозрачного диска имеет общие черты с дифракционной картиной света от отверстия того же диаметра в непрозрачном экране.

Пусть для определённости диск закрывает только одну зону Френеля. Тогда в центре дифракционной картины диска амплитуда волны определяется разностью амплитуд волны источника, когда нет никакого экрана, и волны от отверстия, имеющего размер первой зоны Френеля. Учитывая, что амплитуда волны от первой зоны Френеля в два раза больше, чем амплитуда волны источника в точке наблюдения, получаем, что интенсивность волны за диском равна интенсивности волны источника в отсутствии диска.

Если же диск закрывает две зоны Френеля, то в центре дифракционной картины диска амплитуда волны определяется амплитудой волны источника, когда нет никакого экрана, поскольку амплитуду волны, создаваемой отверстием того же диаметра, что и диск, приближённо можно полагать равной нулю. Проведенные рассуждения, очевидно, справедливы для диска, открывающего произвольное число (не очень большое) чётных или нечётных зон Френеля.

Таким образом, амплитуда волны в центре дифракционной картины от диска любого размера равна половине амплитуды волны от первой открытой зоны Френеля, что совпадает с результатом проведенных выше расчётов. На периферии дифракционной картины от диска распределение интенсивности в основном определяется амплитудой волны источника, на которую 'накладываются' затухающие по мере удаления от центра картины колебания волн от частично открытых зон Френеля отверстием в непрозрачном экране того же диаметра, что и рассматриваемый диск.

Рассмотрим вид дифракционной картины в зависимости от размера диска. Если размер диска во много раз меньше первой зоны Френеля, то наблюдается практически равномерное освещение экрана - диск как бы не отбрасывает тени. Если размер диска закрывает 'много' зон Френеля, в центре дифракционной картины светлого пятна практически не видно т.к. , освещённость картины в области геометрической тени практически равна нулю, а дифракционные кольца наблюдаются узкой области на границе свет-тень.

Дифракция плоской электромагнитной волны на полуплоскости.

Пусть плоская волна с длиной волны распространяется перпендикулярно непрозрачной полуплоскости, за которой на расстоянии находится плоский экран, параллельный полуплоскости (рис. 5.20).

Рассмотрим поле световой волны в точке наблюдения , находящейся на расстоянии от проекции края полуплоскости на экран.

Для расчёта поля волны в точке наблюдения можно использовать графический метод кольцевых зон Френеля, которые в случае плоского волнового фронта падающей волны, соответствуют источнику, находящемуся на бесконечности от точки наблюдения. Радиус - ой зоны Френеля , вычисляемый по формуле оказывается пропорциональным .

Учтём, что решаемая задача дифракции является двумерной ввиду её симметрии. В этом случае распределение интенсивности одинаково в любой плоскости перпендикулярной полуплоскости. Тогда кольцевые зоны Френеля 'вырождаются' в зоны Френеля (рис. 5.21) в виде полос (отрезков) , расположенных справа от точки , и , расположенных слева от точки .

'Полосатые' зоны Френеля получили название зон Шустера. Очевидно, размер зон Шустера определяется следами пересечения кольцевых зон Френеля плоскостью, перпендикулярной волновому фронту волны и содержащей точку наблюдения (рис. 5.21). По этой причине

В дальнейшем будем называть зоны Шустера - левыми, а зоны Шустера - правыми.

Амплитуда волны от - ой зоны Шустера определяется, пренебрегая зависимостью убывания амплитуды волн от расстояния, пройденного до точки , в основном её размером:

де - размер первой зоны Френеля.

Для больших значений следует, что

Таким образом, амплитуды волн от соответствующих зон Шустера убывают с ростом в соответствии с последовательностью числового ряда:

Для расчёта дифракции волн на полуплоскости используется, как и выше, спираль Корно (рис. 5.22), с помощью которой можно найти амплитуду волны и фазу волны для произвольного числа открытых или закрытых полуплоскостью зон Шустера. Характерной особенностью этой кривой является наличие двух фокусов, на которые 'наматываются' витки спирали.

 

Левый фокус с координатами (-0.5, -0.5) соответствует всем открытым зонам Шустера, находящимся левее точки наблюдения , а правый фокус (0.5, 0.5) соответствует всем открытым зонам Шустера справа от . Амплитуда волны в отсутствии полуплоскости представляется на спирали Корно в виде вектора единичной длины, соединяющего её левый и правый фокусы (рис. 5.23a), который соответствует амплитуде волны , падающей на полуплоскость.

При наличии полуплоскости в точке наблюдения , находящейся на границе свет-тень (), амплитуда волны определяется вектором, соединяющим точку с правым фокусом спирали Корно, поскольку все левые зоны Френеля закрыты.

При перемещении точки наблюдения в зону геометрической тени, создаваемой полуплоскостью (), амплитуда волны уменьшается, т.к. она определяется вектором (рис. 5.23b), соединяющим точку , смещённую по спирали правее из точки , с правым фокусом спирали Корню, поскольку часть левых зон Френеля закрыта.

По мере смещения точки наблюдения в зону геометрической тени амплитуда волны сначала будет уменьшаться монотонно, а затем уменьшение будет сопровождаться незначительными осцилляциями, наблюдаемые на экране в виде светлых и тёмных полос.

При перемещении точки наблюдения в освещённую область экрана () амплитуда волны увеличивается, т.к. она определяется вектором (рис. 5.23c, d, e), соединяющим точку , смещённую по спирали левее точки , с правым фокусом спирали Корню, поскольку часть правых зон Френеля открывается. По мере смещения точки наблюдения в освещённую область экрана амплитуда волны сначала будет увеличиваться монотонно, а затем увеличение будет сопровождаться незначительными осцилляциями, наблюдаемые на экране в виде светлых и тёмных полос.

Общий характер изменения интенсивности на экране как функции положения точки наблюдения приводится на рис. 5.24. Обращает внимание наличие освещённости экрана в зоне тени. Это свойство дифракции волн на препятствии дало основание определять дифракцию света, как явление, в котором наблюдается отклонение от закона его прямолинейного распространения. Понятно, что такое определение явления дифракции света основано на представлениях о природе света, не учитывающих его волновой характер.