Компакты.

Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечноеподпокрытие.

Связанные определения

Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

Общие свойства:
- Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
- Замкнутое подмножество компакта компактно.
- Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
- Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
- Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
- В компактных пространствах каждое центрированное семейство замкнутых множеств, т.е. семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение. См. также Лемма о вложенных отрезках.
Свойства компактных метрических пространств:
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
- Критерий Хаусдорфа: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
- Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса.
- Лемма Лебега: Для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия ${V_alpha}, alphain A$ существует положительное число $,! r$ такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше $,! r$ , содержится в одном из множеств $,! V_alpha$ . Такое число $,! r$ называется числом Лебега.
- В компактных пространствах каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.

Примеры компактных множеств

замкнутые и ограниченные множества в $mathbb{R}^n$
конечные подмножества топологических пространств
теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство $C(X)$ вещественных функций на метрическом компактном пространстве $X$ с нормой $|f|=sup_x |f(x)|$ . Тогда замыкание множества функций $F$ в $C(X)$ компактно тогда и только тогда, когда $F$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
пространство Стоуна булевых алгебр
компактификация топологического пространства