Замыкание.

Замыканием множества $X$ называется совокупность всех точек прикосновения этого множества (обозначается $~[X]$ , иногда в литературе используется также обозначение $overline {X}$ ). Мы будем использовать обозначение $~[X]$ , так как черта над символом уже имеет несколько значений(например: комплексно-сопряжённое число, дополнение множества).

Преобразование, ставящее в соответствие множеству его замыкание, называется операцией замыкания. Рассмотрим некоторые свойства операции замыкания.

Свойство 1. Множество целиком содержится в своём замыкании:

$X subset [X]$ .

Данное свойство следует из того факта, что любая точка множества является его точкой прикосновения.

Свойство 2. Повторное применение операции замыкания не меняет результат:

$left [ left [ X right ] right ] = left [ X right ]$ .

Доказательство. Пусть $x in [[X]]$ . Тогда в любой её окрестности — шаре $B(x, epsilon)$ — найдётся точка $x_1 in [X]$ . Рассмотрим шар $~ B(x_1, epsilon_1)$ радиуса $~epsilon_1 = epsilon - rho(x, x_1)$ . Этот шар лежит внутри шара $B(x, epsilon)$ . Действительно, пусть

$y in B(x_1, epsilon_1) Rightarrow rho(y, x_1) < epsilon_1$ ,

а по аксиоме треугольника

$rho(y, x) le rho(y, x_1) + rho(x_1, x) < epsilon_1 + (epsilon - epsilon_1) = epsilon$ .

Так как $x_1 in [X]$ , то в шаре $B(x_1, epsilon_1)$ найдётся точка $x_2 in X$ , но тогда

$x_2 in B(x, epsilon)$ ,

а так как $B(x, epsilon)$ — произвольная окрестность, содержащая $x$ , то $x in [X]$ . Свойство доказано.

Свойство 3. Замыкание подмножества есть подмножество замыкания содержащего его множества:

$X subset Y Rightarrow [X] subset [Y]$ .

Доказательство.

Если $x in [X]$ , то в любой окрестности $O_epsilon(x)$ существует такая точка $x_1$ , что $x_1 in X$ , но так как $X subset Y$ , то $x_1 in Y$ , а следовательно $x in [Y]$ , то есть

$x in [X] Rightarrow x in [Y]$ ,

а это как раз и обозначает, что $[X] subset [Y]$ . Свойство доказано.

Свойство 4. Замыкание объединения множеств совпадает с объединением их замыканий:

$left [ X cup Y right ] = [X] cup [Y]$ .

Доказательство. По определению объединения множеств

$X subset X cup Y, ~Y subset X cup Y$ ,

следовательно, по свойству 3:

$[X] subset [X cup Y], ~[Y] subset [X cup Y]$ ,

а значит

$[X] cup [Y] subset [X cup Y]$ .

Докажем теперь обратное включение.

Пусть $x in [X cup Y]$ , рассмотрим некоторую окрестность $O_epsilon(x)$ , по определению замыкания, существует такая точка $x_1 in O_epsilon(x)$ , что $x_1 in X cup Y$ , а значит точка $x$ принадлежит по крайней мере одному из множеств $[X]$ или $[Y]$ .

Теорема (Критерий замкнутости множества). Множество $X subset M$ является замкнутым тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием.

Доказательство.

Пусть множество $X$ является замкнутым, тогда его дополнение

$Y = M setminus X$

будет открытым множеством. А значит для любой точки $y in Y$ и любого вещественного числа $epsilon > 0$ :

$O_epsilon (y) subset Y = M setminus X$ ,

то есть для любой точки $x in M$

$x notin X Rightarrow x notin [X]$ ,

а так как по свойству 1 $X subset [X]$ , то замыкание замкнутого множество есть само это множество.

Пусть теперь $X = [X]$ , это означает, что любая окрестность любой точки множества $M setminus X$ не имеет общих точек с $X$ , то есть целиком лежит в $M setminus X$ , таким образом, множество $M setminus X$ является, по определению, открытым, а $X$ — замкнутым.

Замечание. Иногда эту теорему берут за определение замкнутого множества, а тот факт, что замкнутое множество является дополнением открытого доказывают как теорему.

Из данной теоремы и свойств операции замыкания следует, что замыкание множества — это наименьшее замкнутое множество, содержащее данное.

Теорема. Пересечение любого числа и объединение любого конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Доказательство.

Рассмотрим счётную систему множеств

${ X_n }$

и их пересечение

$X = bigcap_{n=1}^{infty} X_n$ .

Пусть $x$ — произвольная предельная точка множества $X$ , тогда любая её окрестность $O_epsilon(x)$ содержит бесконечно много точек из $X$ , а по свойству пересечения множеств, любая точка $X$ принадлежит всем $X_n$ , а так как каждое из этих множеств замкнуто, то им всем принадлежит и сама точка $x$ . Таким образом

$x in X = bigcap_{n=1}^{infty} X_n$ ,

а значит множество $X$ является замкнутым.

Рассмотрим теперь множество $Y$ , представляющее собой объединение конечного числа замкнутых множеств: $Y = bigcup_{k=1}^{n} Y_k$ . Рассмотрим произвольную точку $x notin Y$ и покажем, что она не может быть предельной точкой множества $Y$ . По определению объединения множеств, точка $x$ не принадлежит ни одному из замкнутых множеств $Y_k$ , а значит не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого из множеств $Y_k$ можно указать такое вещественное число $epsilon_k$ , что окрестность $O_{epsilon_k}(x)$ будет содержать лишь конечное число точек из $Y_k$ . Выбрав из этих окрестностей наименьшую, получим окрестность точки $x$ содержащую не более чем конечное число точек из $Y$ . А значит точка $x$ , по определению, не может быть предельной для $Y$ .

В силу принципа двойственности справедлива следующая теорема.

Теорема. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.

Отметим, что существуют множества не открытые и не замкнутые. Существуют и множества, являющиеся и открытыми, и замкнутыми: пустое множество и всё пространство.

Точка метрического пространства $x in R$ называется предельной точкой множества $M subset R$ , если любая её окрестность содержит бесконечно много точек из $M$ . Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать $M$ . Например, если $M$ — множество рациональных точек отрезка $[0; 1]$ , то каждая точка этого отрезка является предельной точкой множества $M$ .

Точка $x in X subset R$ называется изолированной точкой множества $X$ , если в достаточно малой её окрестности нет точек из $X$ , отличных от $x$ .

Точка $x$ называется внутренней точкой множества $X$ , если существует окрестность $O_epsilon(x)$ , лежащая целиком в $X$ .

Теорема Всякая точка прикосновения множества есть либо предельная, либо изолированная точка этого множества.

Доказательство.

Пусть $x$ — произвольная точка прикосновения множества $M subset R$ , а значит любая её окрестность должна пересекаться с множеством $M$ . Если эта точка не является предельной, то можно указать окрестность в которой содержится лишь конечное число точек из $M$ . Обозначим эти точки $x_1,...,x_n$ . Если положить

$r = min_{1 le k le n} rho(x, x_k)$ ,

то шар $B(x, r)$ не будет содержать ни одну из точек $x_1,...,x_n$ . Таким образом, мы указали окрестность точки $x$ , которая не содержит других точек множества $M$ , то есть если точка не является предельной, то она изолированная.

Наоборот, если предельная точка $x$ не является изолированной, то в любой её окрестности содержится бесконечно много точек множества $M$ . Действительно, если бы точек было лишь конечное число, мы могли бы указать окрестность (как это было сделано выше), которая не содержит точек из $M$ кроме самой $x$ .

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что замыкание множества M состоит, в общем случае, из точек трёх типов:

Изолированные точки множества M;
Предельные точки множества M, принадлежащие M;
Предельные точки множества M, не принадлежащие M.

Таким образом, замыкание множества получается присоединением к нему всех его предельных точек.

Плотные подмножества

Пусть $A$ и $B$ — два множества в метрическом пространстве $R$ . Множество $A$ называется плотным в множестве $B$ , если его замыкание включает множество $B$ , то есть

$[A] supset B$ .

Если замыкание множества $A$ совпадает со всем пространством $R$ , то говорят, что множество А — всюду плотное (в пространстве R).

Множество $A$ называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре.

Если в метрическом пространстве имеется счётное всюду плотное множество, то такое пространство называется сепарабельным.

Например, рациональные числа образуют счётное всюду плотное множество на числовой прямой, так как всякой вещественное число — это предел последовательности рациональных чисел.

Пространство изолированных точек является сепарабельным только если оно само счётно, так как в дискретной метрике замыкание любого множества совпадает с ним самим.