Внутренние, внешние, граничные, предельные точки.

Вну́тренняя то́чка мно́жества в топологии есть точка, входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью.

Пусть $X$ — топологическое пространство, с топологией $T$ , и $M subseteq X$ . Точка $xin M$ является внутренней для $M$ тогда и только тогда, когда существует открытое множество $Sin T$ , такое что $xin S$ и $Ssubseteq M$ .

Из определения сразу следует, что в открытом множестве все точки внутренние.
Также верно и обратное: множество, все точки которого внутренние, является открытым.

Частные случаи

В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$ , и $M$ — его подмножество. Точка $xin M$ является внутренней для $M$ тогда и только тогда, когда существует $varepsilon >0$ , такое что $forall yin X,, d(x,y)<varepsilonRightarrow yin M$ . Иначе говоря, $x$ входит в $M$ вместе с шаром радиуса $varepsilon$ с центром в $x$ .

____________________________________________________________________

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Пусть дано топологическое пространство $(X,mathcal{T})$ , где $X$ — произвольное множество, а $mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Пусть также задано подмножество $A subset X$ . Точка $x in X$ называется предельной точкой множества $A$ , если для любого открытого множества $U in mathcal{T}$ , такого что $x in U$ и

$(U setminus x) cap A not= emptyset$ .

Совокупность всех предельных точек множества $A$ называется его произво́дным мно́жеством и обозначается $A'$ .

Объединение самого множества $A$ с его производным множеством $A'$ называется замыканием множества и обозначается $bar{A}$ или $[A]$ .

Если $xin X$ — предельная точка $A$ , то существует последовательность ${x_n}_{n=1}^{infty} subset A$ целиком лежащая в $A$ такая, что $x_n to x$ при $n to infty$ .
Не всякая точка множества $A$ обязана быть предельной. Обратно, предельная точка множества не обязана ему принадлежать.
Любое бесконечное и ограниченное подмножество евклидова пространства содержит хотя бы одну свою предельную точку.

Лемма

Пусть $X subset mathbb{R}$ — бесконечное ограниченное подмножество числовой прямой. Тогда оно имеет хотя бы одну предельную точку, то есть $X' neq varnothing.$

Рассмотрим множество действительных чисел $mathbb{R}$ со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:

$(a,b)' = [a,b];$
$mathbb{Q}' = mathbb{R},$ где $mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел;
$mathbb{Z}' = emptyset,$ где $mathbb{Z}$ — множество целых чисел;

Замечание*

Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами. Например, у последовательности $a_n=1$ это точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).

________________________________________________________________________

Вне́шность в общей топологии — это внутренность дополнения.

Определение

Пусть $(X,mathcal{T})$ — топологическое пространство, где $X$ — произвольное множество, а $mathcal{T}$ — определённая на нём топология. Пусть дано подмножество $A subset X.$ Точка $x_0 in X$ называется вне́шней то́чкой мно́жества $A,$ если существует её окрестность $Uin mathcal{T}, Uni x_0$ такая, что

$U cap A = emptyset.$

Совокупность всех внешних точек множества называется внешностью и обозначается $A^{mathrm{e}}.$

Свойства

Все основные свойства внешности следуют из свойств внутренности и тождества:

$A^{mathrm{e}} = left(A^{complement}right)^0;$

$X = A^0 cup partial A cup A^{mathrm{e}}.$

Пример

Пусть дана вещественная прямая с определённой на ней стандартной топологией. Тогда

$(a,b)^{mathrm{e}} = (-infty,a) cup (b,infty).$

______________________________________________________________________

Грани́ца мно́жества в общей топологии — это такое множество, что его точки могут быть приближены как изнутри данного множества, так и снаружи.

Пусть дано топологическое пространство $(X,mathcal{T})$ , где $X$ — произвольное множество, а $mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Пусть $Asubset X.$ Точка $x_0in X$ называется грани́чной то́чкой мно́жества $A$ , если для любой её окрестности $Uin mathcal{T}, Uni x_0$ справедливо:

$U cap A neq emptyset,; U cap A^{complement} neq emptyset.$

Множество всех граничных точек множества $A$ называется границей и обозначается $partial A.$

Свойства

$partial A = partial left(A^{complement}right);$
$partial A = bar{A} setminus A^0;$
$partial A$ — замкнутое множество;
$A$ — открытое множество тогда и только тогда, когда $A cap partial A = emptyset;$
$A$ — замкнутое множество тогда и только тогда, когда $partial A subset A;$
$A$ — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда $partial A = emptyset;$
$partial partial A subset partial A$ , причем равенство $partial partial A = partial A$ достигается тогда и только тогда, когда $(partial A)^0 = emptyset;$
$partial partial partial A = partial partial A.$

Примеры

Рассмотрим числовую прямую $mathbb{R}$ со стандартной топологией. Тогда

$partial (a,b) = partial (a,b] = partial [a,b) = {a,b};$
$partial mathbb{R} = emptyset;$
$partial mathbb{Q} = mathbb{R}.$

3.3. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода

Пусть на гладкой дуге АВ задана непрерывная векторная функция

$3-3-001.gif$ = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

и пусть М(x,y,z) - текущая точка дуги АВ, имеющая радиус – вектор $3-3-002.gif$

Обозначим $3-3-003.gif$ - вектор, направленный по касательной к дуге АВ в точке M

Тогда величина

$3-3-004.gif$

есть проекция вектора $3-3-005.gif$ на направление вектора $3-3-006.gif$

Таким образом, можно показать, что между криволинейными интегралами первого и второго рода существует связь:

$3-3-007.gif$

Формула грина

Пусть $C$ — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а $D$ — область, ограниченная кривой $C$ . Если функции $P = P(x,y)$ , $Q = Q(x,y)$ определены в области $D$ и имеют непрерывные частные производные $frac{partial P}{partial y}$ , $frac{partial Q}{partial x}$ , то

$ointlimits_{C} P ,dx + Q ,dy = iintlimits_{D} left( frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y} right) ,dx,dy$

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая $C$ замкнута.

3.7. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути интегрирования

Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(х,y) и M₀M - гладкая дуга, лежащая в области D.

Рассмотрим вопрос о независимости интеграла

$3-7-001.gif$

от формы пути интегрирования. Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть функции P, Q, P'_y, Q'_x определены и непрерывны в односвязной, ограниченной замкнутой области D плоскости Оху. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой:
1)

$3-7-002.gif$

, где L - замкнутый контур в области D; 2) интеграл

$3-7-003.gif$

не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M₀ и М;
3) Pdx + Qdy = dU - полный дифференциал некоторой функции U(x,y); 4)

$3-7-004.gif$

в каждой точке области D.