Открытые и замкнутые множества
В курсе математического анализа на первом курсе ВУЗов встречается много непонятного и непривычного. Одна из первых таких “новых” тем – это открытые и замкнутые множества. Постараемся дать пояснения по данной тематике.
Перед тем, как приступить к постановке определений и задач, напомним значение используемых обозначений и кванторов:
∈ – принадлежит
∅ – пустое множество
Ε – множество действительных чисел
х* – закреплённая точка
А* – множество граничных точек
: – такое, что
⇒ – следовательно
∀ – для каждого
∃ – существует
Uε(х) – окрестность х по ε
Uºε(х) – проколотая окрестность х по ε
Итак,
Определение 1: Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М
С помощью кванторов определение запишется следующим образом:
М ∈ Ε – открытое, если ∀ у∈М ∃ ε>0 : Uε(y) < M
Простым языком – открытое множество состоит из внутренних точек. Примерами открытого множества являются пустое множество, прямая, интервал (а, b)
Определение 2: Точка x* ∈ E называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки х содержатся точки как из множества М, так и из его дополнения.
Теперь с помощью кванторов:
х*∈ E – граничная точка, если ∀Uε(x) ∩ М ≠ ∅ и ∀Uε(x) ∩ ЕМ
Определение 3: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример – отрезок [a, b]
Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).
Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.
Теорема 1: Пусть множество А – открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = ЕА
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В – незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит – принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д.
В кванторах доказательство можно записать короче:
Предположим, что В – незамкнутое, тогда:
(1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀Uε(x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀Uε(x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ ЕА = 0. Противоречие. В – замкнутое, ч. т. д.
Теорема 2: Пусть множество А – замкнутое. Тогда дополнение к множеству А является открытым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = ЕА
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В – замкнутое множество. Тогда любая граничная точка лежит в В. Но так как А – также замкнутое множество, то все граничные точки принадлежат и ему. Однако точка не может одновременно принадлежать множеству и его дополнению. Противоречие. В – открытое множество, ч. т. д.
В кванторах это выглядеть будет следующим образом:
Предположим, что В – замкнутое, тогда:
(1) ∀ х∈А*:х∈A (из условия)
(1) ∀ х∈А*:х∈В (из предположения)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ ЕА = 0. Противоречие. В – открытое, ч. т. д.
Теорема 3: Пусть множество А – замкнутое и открытое. Тогда А = Е или А = ∅
Доказательство: Начнём записывать подробно, но сразу использую кванторы.
Предположим, что множество С – замкнутое и открытое, причём С ≠ ∅ и С ≠ Е. Тогда очевидно, что С ⊆ Е.
(1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀Uε(x) ∩ ЕС ≠ ∅ (определение граничной точки, которая принадлежит С)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀Uε(x) ⊂ В (определение открытого множества С)
Из (1) и (2) следует, что ЕС ∩ С ≠ ∅, но это неверно. Противоречие. С не может быть одновременно и открытым, и замкнутым, ч. т. д.
