пользователей: 21204
предметов: 10449
вопросов: 177330
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Оператор Лапласа, гармонические функции.

Опера́тор Лапла́са (Лапласиан) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом Delta. Функции F он ставит в соответствие функцию left({partial^2 over partial x_1^2} + {partial^2 over partial x_2^2} + ldots  + {partial^2 over partial x_n^2}right)F.

 

В произвольных ортогональных криволинейных координатах q_1, q_2, q_3:

Delta f (q_1, q_2, q_3) = operatorname{div},operatorname{grad},f(q_1, q_2, q_3) = frac{1}{H_1H_2H_3}left[ frac{partial}{partial q_1}left( frac{H_2H_3}{H_1}frac{partial f}{partial q_1} right) + frac{partial}{partial q_2}left( frac{H_1H_3}{H_2}frac{partial f}{partial q_2} right) +  frac{partial}{partial q_3}left( frac{H_1H_2}{H_3}frac{partial f}{partial q_3} right)right]
где H_i - коэффициенты Ламе.

В цилиндрических координатах:

Delta f  = {1 over r} {partial over partial r}   left( r {partial f over partial r} right)  + {partial^2f over partial z^2} + {1 over r^2} {partial^2f over partial phi^2}

В сферических координатах:


Delta f  = {1 over r^2} {partial over partial r}   left( r^2 {partial f over partial r} right)  + {1 over r^2 sin theta} {partial over partial theta}   left( sin theta {partial f over partial theta} right)  + {1 over r^2 sin^2 theta} {partial^2 f over partial phi^2}

или

Delta f  = {1 over r} {partial^2 over partial r^2}   left( rf right)  + {1 over r^2 sin theta} {partial over partial theta}   left( sin theta {partial f over partial theta} right)  + {1 over r^2 sin^2 theta} {partial^2 f over partial phi^2}.


Оператор Лапласа часто записывается следующим образом nabla^2, то есть скалярное произведение оператора набла на себя.

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом Delta. Функции F он ставит в соответствие функцию left({partial^2 over partial x_1^2} + {partial^2 over partial x_2^2} + ldots  + {partial^2 over partial x_n^2}right)F.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенцииDelta=operatorname{div},operatorname{grad}, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля operatorname{grad}F в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом Delta=nablacdotnabla=nabla^2, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа унитарен.

________________________________________________________________________

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция U, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве D(или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

Delta U = 0,

где Delta=sum_{i=1}^nfrac{partial^2}{partial x_i^2} — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

 

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости

                                     image002.gif                                                   (1)

и в пространстве            

                         image004.gif                                                        (2)     

Функции U=U(x,y) на плоскости и U=U(x,y,z) в пространстве, имеющие непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющие, соответственно, уравнению Лапласа (1) или (2) в некоторой области D, называются гармоническими в этой области.[1]

Простейшими примерами гармонических функций являются линейные функции: image006.gif на плоскости и image008.gifв пространстве. Особый интерес представляют решения уравнений Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической (в случае двух независимых переменных – круговой) симметрией.

Решение image010.gif, обладающее сферической симметрией, будет определяться  из обыкновенного дифференциального уравнения

image012.gif

Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравнение Лапласа (2), записанное в сферических координатах. Интегрируя это уравнение, находим image014.gif где image016.gif и image018.gif- произвольные постоянные. Полагая image020.gifimage022.gif, получим функцию  image024.gif которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция image026.gif является гармонической всюду в пространстве, кроме начала координат.

Аналогично, полагая image028.gif и пользуясь уравнением Лапласа в цилиндрических и полярных координатах можно найти решения, обладающие цилиндрической или круговой симметрией:

image030.gif где image032.gif

Выбирая image034.gif и image035.gif, будем иметь функцию  image037.gif которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (в случае двух независимых переменных). Функция image038.gif удовлетворяет уравнению Лапласа (1) всюду на плоскости, кроме начала координат, где она обращается в бесконечность. Фундаментальные решения уравнения Лапласа имеют, помимо большого значения в теории гармонических функций, важный физический смысл.

Рассмотрим в пространстве электрическое поле, образованное точечным зарядом величины image040.gif, помещенным в начало координат. Тогда потенциал этого поля равен image042.gifАналогично, если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал такого поля будет равен image044.gifгде image046.gif- линейная плотность заряда (то есть заряд, рассчитанный на единицу длину).

А теперь приступим к изучению некоторых свойств гармонических функций.

Теорема о среднем. Пусть функция image048.gif гармоническая в некотором круге image050.gif радиуса image052.gifс центром image054.gif и непрерывная в соответствующем замкнутом круге image056.gif. Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г, ограничивающей данный круг [14], то есть image058.gif                                                   (3)   

При доказательстве этой теоремы применяется интегральная формула Пуассона для круга, которая будет доказана позже. Она имеет вид  

image060.gif

Если в этой формуле положить image062.gif, то получится формула (3).

Теорему о среднем можно представить и в другой форме. Для этого запишем формулу (3) для произвольного круга радиуса image064.gif, где image066.gif  image068.gif                                                                  (4)  

Умножив обе части равенства (4) на image070.gif и проинтегрировав по image072.gif в пределах от 0 до image073.gif, получим: image075.gif или

image077.gif где image078.gif - круг радиуса image079.gif. Разделив обе части полученного равенства на image081.gif, получится image083.gif                    (5)                   

В правой части формулы (5) записано среднее значение гармонической функции U(x,y) в круге радиуса R [1].

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области image084.gif функция image085.gif непрерывная и для каждой точки  image087.gif выполняется теорема о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке image088.gif, то эта функция гармоническая в image089.gif.


хиты: 41
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь