Оператор Лапласа, гармонические функции.

Опера́тор Лапла́са (Лапласиан) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом $Delta$ . Функции $F$ он ставит в соответствие функцию $left({partial^2 over partial x_1^2} + {partial^2 over partial x_2^2} + ldots + {partial^2 over partial x_n^2}right)F$ .

В произвольных ортогональных криволинейных координатах $q_1, q_2, q_3$ :

$Delta f (q_1, q_2, q_3) = operatorname{div},operatorname{grad},f(q_1, q_2, q_3) = frac{1}{H_1H_2H_3}left[ frac{partial}{partial q_1}left( frac{H_2H_3}{H_1}frac{partial f}{partial q_1} right) + frac{partial}{partial q_2}left( frac{H_1H_3}{H_2}frac{partial f}{partial q_2} right) + frac{partial}{partial q_3}left( frac{H_1H_2}{H_3}frac{partial f}{partial q_3} right)right]$ ,
где $H_i$ - коэффициенты Ламе.

В цилиндрических координатах:

$Delta f = {1 over r} {partial over partial r} left( r {partial f over partial r} right) + {partial^2f over partial z^2} + {1 over r^2} {partial^2f over partial phi^2}$

В сферических координатах:

$Delta f = {1 over r^2} {partial over partial r} left( r^2 {partial f over partial r} right) + {1 over r^2 sin theta} {partial over partial theta} left( sin theta {partial f over partial theta} right) + {1 over r^2 sin^2 theta} {partial^2 f over partial phi^2}$

или

$Delta f = {1 over r} {partial^2 over partial r^2} left( rf right) + {1 over r^2 sin theta} {partial over partial theta} left( sin theta {partial f over partial theta} right) + {1 over r^2 sin^2 theta} {partial^2 f over partial phi^2}.$

Оператор Лапласа часто записывается следующим образом $nabla^2$ , то есть скалярное произведение оператора набла на себя.

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом $Delta$ . Функции $F$ он ставит в соответствие функцию $left({partial^2 over partial x_1^2} + {partial^2 over partial x_2^2} + ldots + {partial^2 over partial x_n^2}right)F$ .

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: $Delta=operatorname{div},operatorname{grad}$ , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля $operatorname{grad}F$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом $Delta=nablacdotnabla=nabla^2$ , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа унитарен.

________________________________________________________________________

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $U$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

$Delta U = 0,$

где $Delta=sum_{i=1}^nfrac{partial^2}{partial x_i^2}$ — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x_i (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости

(1)

и в пространстве

(2)

Функции U=U(x,y) на плоскости и U=U(x,y,z) в пространстве, имеющие непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющие, соответственно, уравнению Лапласа (1) или (2) в некоторой области D, называются гармоническими в этой области.[1]

Простейшими примерами гармонических функций являются линейные функции: на плоскости и в пространстве. Особый интерес представляют решения уравнений Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической (в случае двух независимых переменных – круговой) симметрией.

Решение , обладающее сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения

Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравнение Лапласа (2), записанное в сферических координатах. Интегрируя это уравнение, находим где и - произвольные постоянные. Полагая , , получим функцию которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция является гармонической всюду в пространстве, кроме начала координат.

Аналогично, полагая и пользуясь уравнением Лапласа в цилиндрических и полярных координатах можно найти решения, обладающие цилиндрической или круговой симметрией:

где

Выбирая и , будем иметь функцию которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (в случае двух независимых переменных). Функция удовлетворяет уравнению Лапласа (1) всюду на плоскости, кроме начала координат, где она обращается в бесконечность. Фундаментальные решения уравнения Лапласа имеют, помимо большого значения в теории гармонических функций, важный физический смысл.

Рассмотрим в пространстве электрическое поле, образованное точечным зарядом величины , помещенным в начало координат. Тогда потенциал этого поля равен Аналогично, если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал такого поля будет равен где - линейная плотность заряда (то есть заряд, рассчитанный на единицу длину).

А теперь приступим к изучению некоторых свойств гармонических функций.

Теорема о среднем. Пусть функция гармоническая в некотором круге радиуса с центром и непрерывная в соответствующем замкнутом круге . Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г, ограничивающей данный круг [14], то есть (3)

При доказательстве этой теоремы применяется интегральная формула Пуассона для круга, которая будет доказана позже. Она имеет вид

Если в этой формуле положить , то получится формула (3).

Теорему о среднем можно представить и в другой форме. Для этого запишем формулу (3) для произвольного круга радиуса , где (4)

Умножив обе части равенства (4) на и проинтегрировав по в пределах от 0 до , получим: или

где - круг радиуса . Разделив обе части полученного равенства на , получится (5)

В правой части формулы (5) записано среднее значение гармонической функции U(x,y) в круге радиуса R [1].

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области функция непрерывная и для каждой точки выполняется теорема о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке , то эта функция гармоническая в .