Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции 
в точке 
называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и у в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи 
.
Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие . Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует 
, то, подставив в , получим функцию одной переменной
. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.
Метод множителей Лагранжа
Для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа:
(параметр 
называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак 
. Если в стационарной точке 
, то функция имеет в данной точке условный минимум, если же 
, то условный максимум.
Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть
Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: 
, 
, поэтому в любой стационарной точке имеем:
Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в форме 
. Красным цветом выделены элементы определителя 
, который является гессианом функции Лагранжа. Если 
, то , что указывает на условный максимум. Аналогично, при 
имеем , т.е. имеем условный минимум функции .
Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
1. Составить функцию Лагранжа
2. Решить систему
3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
• Составить определитель Н и выяснить его знак,
• С учетом уравнения связи вычислить знак 
.
Метод множителей Лагранжа для функции n переменных
Допустим, мы имеем функцию n переменных 
и m уравнений связи (
):
Обозначив множители Лагранжа как 
, составим функцию Лагранжа:
Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:
Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака . Если в найденной точке , то функция имеет условный минимум, если же , - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Определитель матрицы 
, выделенной в матрице Lкрасным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Найдя в каждой стационарной точке значение определителя 
, используем следующее правило:
Если знаки угловых миноров 
матрицы L совпадают с знаком
, то исследуемая стационарная точка является точкой условного минимума функции.
Если знаки угловых миноров чередуются, причём знак минора 
совпадает с знаком числа 
, то исследуемая стационарная точка является точкой условного максимума функции .
Пример №1
Найти условный экстремум функции 
при условии 
.
Решение
Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости 
для точек ее пересечения с цилиндром .
Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.
Обозначив 
, составим функцию Лагранжа:
. 
Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:
Если предположить 
, то первое уравнение станет таким: 
. Полученное противоречие говорит о том, что 
. При условии из первого и второго уравнений имеем: 
. Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:
Итак, система имеет два решения: 
, 
, 
и 
, 
, 
. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: 
и 
. Для этого вычислим определитель Н в каждой из точек.
В точке получим:
, поэтому в точке функция имеет условный максимум, 
.
Аналогично, в точке найдем: 
. Так как
, то в точке имеем условный минимум функции ,
.
Вопрос о характере экстремума в стационарных точках и можно решить и без использования определителя Н. Найдем знак в каждой стационарной точке:
При , поэтому функция имеет в точке условный максимум. Аналогично, в точке получим условный минимум функции . Отметим, что для определения знака не пришлось учитывать связь между dx и dy, ибо знак очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака уже будет необходимо учесть связь между dх и dу.
Пример №2
Найти условный экстремум функции 
при условии 
.
Решение
Первый способ (метод множителей Лагранжа)
.
Функция Лагранжа: 
.
Решив систему, получим: 
и 
. Имеем две стационарные точки: 
и 
. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителя Н.
В точке 
, поэтому есть точка условного минимума функции , 
. В точке 
, посему в данной точке функция имеет условный максимум, 
.
Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке :
Из уравнения связи имеем: 
.
Так как 
, то является точкой условного минимума функции. Аналогично, 
, т.е. - точка условного максимума.
Второй способ
Из уравнения связи получим: 
. Подставив в функцию , имеем:
Таким образом, задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.
Получили точки и . Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак 
в каждой стационарной точке или проверяя смену знака 
в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом.
Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака .
Пример №3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
, если переменные x и yположительны и удовлетворяют уравнению связи 
.
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Найдем стационарные точки функции Лагранжа:
Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом 
. Из второго уравнения выразим 
и подставим найденное значение в первое уравнение:
Подставляя 
в третье уравнение, получим:
.
Так как 
, то 
. Характер экстремума в точке 
определим, исходя из знака .
Так как , то:
В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки
и параметра 
, получив при этом:
Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:
Подставляя 
, получим:
.
Так как 
, то точка 
есть точкой условного максимума функции, причём 
.
