Частные производные высших порядков

Пусть функция z(x,y) в некоторой окрестности точки (x,y) имеет частные производные

или в других обозначениях

Частные производные являются функциями x и y , которые, в свою очередь, могут иметь частные производные

Если это так, то последние называются частными производными 2–го порядка функции z(x,y) и обозначаются соответственно:

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Частные производные, образованные дифференцированием по различным аргументам, называются смешанными частными производными. Например, смешанные производные 2–го порядка функции двух переменных суть z''xy и z''yx .

Среди смешанных производных одного порядка выделяют производные

1. отличающиеся количеством дифференцирований по одноименным аргументам (например, z'''xxy и z'''xyy );
2. отличающиеся лишь порядком дифференцирования по аргументам (например, z'''xxy , z'''xyx , z'''yxx ).

Теорема о равенстве смешанных частных производных:

Теорема Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.