пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Касательная плоскость и нормальный вектор к графику функции.

Касательная плоскость к графику функции

Пусть дана функция двух переменных $ f(x;y)$ , заданная в некоторой области $ {Omega}$ , и точка $ M_0(x_0;y_0)in{Omega}$ такова, что существуют частные производные $ displaystyle{frac{partial f}{partial x}}$ и $ displaystyle{frac{partial f}{partial y}}$ , непрерывные в точке $ M_0(x_0;y_0)$ .

Рассмотрим график данной функции: $ z=f(x;y)$ и его сечения вертикальными плоскостями $ y=y_0$ и $ x=x_0$ . Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям $ Ox$ и $ Oy$ под углами $ {alpha}$ и $ {beta}$ , такими, что $ mathop{rm tg}nolimits {alpha}=frac{textstyle{f}}{textstyle{x}}(M_0)$ и $ mathop{rm tg}nolimits {beta}=frac{textstyle{f}}{textstyle{y}}(M_0)$ .

kimage0722.png

Рис.7.22.
 
Проведём плоскость через эти две взаимно перпендикулярные касательные. Эта плоскость будет касательной к поверхности графика $ z=f(x;y)$ . Найдём её уравнение.

Запишем уравнение

$displaystyle z-z_0=frac{partial f}{partial x}(M_0)(x-x_0)+frac{partial f}{partial y}(M_0)(y-y_0),$ (7.13)

где $ z_0=f(x_0;y_0)$ , и покажем, что плоскость (7.13) в пространстве $ mathbb{R}^3_{x,y,z}$ , где расположен график, обладает нужными свойствами. Действительно, эта плоскость проходит через точку касания $ (x_0;y_0;z_0)$ , что проверяется подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости (7.13). При $ x=x_0$ , то есть в сечении плоскости (7.13) вертикальной плоскостью $ x=x_0$ , получаем

$displaystyle z=z_0+frac{partial f}{partial y}(M_0)(y-y_0),$

откуда тангенс угла наклона прямой, лежащей в пересечении плоскостей, с осью $ Oy$ равен

$displaystyle z'_y=frac{partial f}{partial y}(M_0).$

Значит, плоскость (7.13) пересекается с вертикальной плоскостью в точности по касательной к сечению графика. Аналогично, плоскость $ y=y_0$ пересекается с плоскостью (7.13) в точности по касательной этого вертикального сечения.

Уравнение (7.13) можно записать также в виде

$displaystyle frac{partial f}{partial x}(M_0)(x-x_0)+frac{partial f}{partial y}(M_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0.$

Прямая, проходящая через точку касания $ (x_0;y_0;z_0)$ перпендикулярно касательной плоскости к поверхности $ z=f(x;y)$ , называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке $ (x_0;y_0;z_0)$ , или нормальной прямой.

Поскольку вектор

$displaystyle ov m=Bigl(frac{partial f}{partial x}(M_0);frac{partial f}{partial y}(M_0);-1Bigr),$

очевидно, перпендикулярен к касательной плоскости (поскольку его координаты равны коэффициентам при $ x, y$ и $ z$ в уравнении касательной плоскости) и, следовательно, параллелен нормали, проведённой через точку касания, то уравнения нормали мы получим как канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку $ (x_0;y_0;z_0)$ параллельно известному вектору $ ov m$ :

$displaystyle frac{x-x_0}{frac{partial f}{partial x}(M_0)}=frac{y-y_0}{frac{partial f}{partial y}(M_0)}=frac{z-z_0}{-1}.$

 

        Пример 7.22   Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

$displaystyle z=frac{x^2}{4}+frac{y^2}{9},$

проходящих через точку $ (2;3;2)$ . (Заметим, что эта поверхность -- график функции $ f(x;y)=frac{x^2}{4}+frac{y^2}{9},$  -- эллиптический параболоид.)

kimage0723.png

Рис.7.23.

Частные производные от $ f$ , вычисленные в точке $ M_0(2;3)$ , равны

$displaystyle frac{partial f}{partial x}(2;3)=frac{x}{2}Bigrvert _{x=2}=1... ...d frac{partial f}{partial y}(2;3)=frac{2y}{9}Bigrvert _{y=3}=frac{2}{3}.$

Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем

$displaystyle 1cdot(x-2)+frac{2}{3}(y-3)-(z-2)=0,$

то есть

$displaystyle x+frac{2}{3}y-z-2=0$ (касательная плоскость)$displaystyle ,$

и

$displaystyle frac{x-2}{1}=frac{y-3}{frac{2}{3}}=frac{z-2}{-1}$ (нормаль)$displaystyle .$

    Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально, то есть задаётся уpавнением $ z=z_0$ , если значения частных пpоизводных в точке $ (x_0;y_0)$pавняются 0:

$displaystyle frac{partial f}{partial x}(x_0;y_0)=0; frac{partial f}{partial y}(x_0;y_0)=0.$

Такие точки $ (x_0;y_0)$ называются стационаpными точками функции $ f(x;y)$ .

_____________________________________________________________________

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag в прямоугольной системе координат, то вектор uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag приходиться аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imagдостаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:
uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:
uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали?  Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag, принадлежащая прямой, и вектор нормали uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Как составить уравнение прямой по точке вектору нормали? Формула

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

 

Пример 

Составить уравнение прямой по точке uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag и вектору нормали uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag. Найти направляющий вектор прямой.

Решение: Используем формулу:
uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imaguravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag уравнению uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag:
uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag
Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой: uravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag

Ответuravnenie_pryamoi_na_ploskosti_clip_imag

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:
Вектор нормали


хиты: 66
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь