Касательная плоскость к графику функции
Пусть дана функция двух переменных , заданная в некоторой области , и точка такова, что существуют частные производные и , непрерывные в точке .
Рассмотрим график данной функции: и его сечения вертикальными плоскостями и . Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям и под углами и , такими, что и .
Запишем уравнение
(7.13) |
где , и покажем, что плоскость (7.13) в пространстве , где расположен график, обладает нужными свойствами. Действительно, эта плоскость проходит через точку касания , что проверяется подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости (7.13). При , то есть в сечении плоскости (7.13) вертикальной плоскостью , получаем
откуда тангенс угла наклона прямой, лежащей в пересечении плоскостей, с осью равен
Значит, плоскость (7.13) пересекается с вертикальной плоскостью в точности по касательной к сечению графика. Аналогично, плоскость пересекается с плоскостью (7.13) в точности по касательной этого вертикального сечения.
Уравнение (7.13) можно записать также в виде
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности , называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке , или нормальной прямой.
Поскольку вектор
очевидно, перпендикулярен к касательной плоскости (поскольку его координаты равны коэффициентам при и в уравнении касательной плоскости) и, следовательно, параллелен нормали, проведённой через точку касания, то уравнения нормали мы получим как канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно известному вектору :
Пример 7.22 Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
проходящих через точку . (Заметим, что эта поверхность -- график функции -- эллиптический параболоид.)
Частные производные от , вычисленные в точке , равны
Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем
то есть(касательная плоскость)
и
(нормаль)
Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально, то есть задаётся уpавнением , если значения частных пpоизводных в точке pавняются 0:
Такие точки называются стационаpными точками функции .
_____________________________________________________________________
Вектор нормали прямой (нормальный вектор)
Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).
Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:
Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.
Если координаты направляющего вектора приходиться аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».
Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:
Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:
Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.
Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?
Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:
Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)
Пример
Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.
Решение: Используем формулу:
Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:
1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).
2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :
Верное равенство.
После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:
Ответ:
На чертеже ситуация выглядит следующим образом: