Градиент.

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами $frac {partial phi} {partial x}$ , $frac {partial phi} {partial y}$ , $frac {partial phi} {partial z}$ , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если $phi$ — функция n переменных $x_1,ldots,x_n$ , то её градиентом будет n-мерный вектор

$left(frac{partial phi}{partial x_1},ldots,frac{partial phi}{partial x_n}right)$ ,

компоненты которого равны частным производным $phi$ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $mathrm{grad}phi$ или, с использованием оператора набла, $nabla phi$ .

Из определения градиента следует, что:

$mathrm{grad}phi = nabla phi = frac {partial phi} {partial x} vec e_x + frac {partial phi} {partial y} vec e_y + frac {partial phi} {partial z} vec e_z$

Для любого постоянного числа $cinR$ и скалярных полей $vec{u}, vec{v}:R^ntoR$ справедливо следующее:

$operatorname{grad},c=vec{0}$

Линейность

$operatorname{grad},(ccdot vec{u})=ccdotoperatorname{grad},vec{u}$
$operatorname{grad},(vec{u}+vec{v})=operatorname{grad},vec{u}+operatorname{grad},vec{v}$

Правило Лейбница

$operatorname{grad},(vec{u}cdot vec{v}) = vec{u}cdotoperatorname{grad},vec{v} + vec{v}cdotoperatorname{grad},vec{u}$ , где $vec{u}cdotvec{v}$ — скалярное произведение векторов $vec u$ и $vec v$ .

Пример

Например, градиент функции $phi(x,y,z)=2x+3y^2-sin(z)$ будет представлять собой:

$nabla phi = begin{pmatrix} {frac{partial phi}{partial x}}, {frac{partial phi}{partial y}}, {frac{partial phi}{partial z}} end{pmatrix} = begin{pmatrix} {2,} { 6y,} { -cos(z)} end{pmatrix}$

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $phi$ по направлению $vec{e}=(e_1,ldots,e_n)$ равняется скалярному произведению градиента $phi$ на единичный вектор $vec{e}$ :

$frac{partial phi}{partial vec e}=frac{partial phi}{partial x_1} e_1+cdots+frac{partial phi}{partial x_n} e_n = (nabla!phi,vec e)$

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть набор всех её частных производных.