Производная по направлению.

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию $f(x_1,;ldots,;x_n)$ от $n ~$ аргументов в окрестности точки $vec{x}{,}^0=(x_1^0,;ldots,;x_n^0)$ . Для любого единичного вектора $vec e=(e_1,;ldots,;e_n)$ определим производную функции $f~$ в точке $vec{x}{,}^0$ по направлению $vec{e}$ следующим образом:

$D_{vec{e}} f(vec{x}) = frac {partial f} {partial e} = lim_{hto 0} frac{f(vec{x}{,}^0+hcdot vec{e})-f(vec{x}{,}^0)}{h}$

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора $vec{e}$ .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

$frac {partial f} {partial e} = nabla f cdot vec{e_0}$ ,

где $vec{e_0}=frac {vec{e}} {|vec {e}|}$ — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора $vec{e}$ .