пользователей: 21211
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Дифференцирование сложной функции многих переменных.

Дифференцирование сложных функций многих переменных

                Рассмотрим для простоты функцию двух переменных.

Теорема. Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области Image2170.gif,  причём, когда Image2171.gifто х и у принадлежат области D .Пусть функция u дифференцируема в  точке M0 (x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f [x(t),y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

Image2172.gif.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x0y0), то её полное приращение представляется в виде

Image2173.gif.

                    Разделив это соотношение наImage2174.gif , получим

Image2175.gif.

                     Перейдём к пределу при Image2176.gif и получим формулу

Image2172.gif.

Замечание 1. Если u(x, y) и xy(x), то полная производная функции по переменной х

Image2177.gif или Image2178.gif.

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F(xy) = 0, где y(x

Имеем: Image2179.gif. Отсюда 1.gif (2417 bytes).               

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

Image2180.gif;

Image2181.gif;

Image2182.gif;

Image2183.gif.

Как видим, ответы совпали.

Замечание 2. Пусть u  f (х, у), где х х(t , v), у у(t , v). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух  переменных t и v . Если теперь функция u дифференцируема в точке M0 (x0y0), а функции х и у  дифференцируемы   в соответствующей точке (t0v0), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t0v0). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке,  то вторая переменная v считается постоянной и равной v0. Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом,   получим:

Image2185.gif и Image2184.gif.

Пример 13. Найти полную производную функции u = x yгде x = sin ty = cos t .

Image2186.gif

Image2187.gif

Image2188.gif.

____________________________________________________________

Понятие сложной функции

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0y0) . Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x(t) ,y = y(t) и определены в некоторой окрестности точки t0 , причем x(t0) = x0 , y(t0) = y0 .

Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция аргумента t

 
z = f(x(t), y(t)).
 

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

Например, если x и y — функции 2–х переменных: x = x(u,v) и y = y(u,v) , то функция z = f(x,y) является сложной функцией двух переменных u и v :

 
z = f(x(u,v), y(u,v)).
 

____________________________________________________

 

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.


Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, f:U(x_0) to V(y_0), где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) to mathbb{R} Пусть также эти функции дифференцируемы: fin mathcal{D}(x_0),; g in mathcal{D}(y_0). Тогда их композиция также дифференцируема: h = g circ f in mathcal{D}(x_0), и её производная имеет вид:Одномерный случай 

h'(x_0) = g'bigl( f(x_0) bigr) cdot f'(x_0).

Замечание 

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где x = x(t), принимает следующий вид:

frac{dy}{dt} = frac{dy}{dx} cdot frac{dx}{dt}.

Инвариантность формы первого дифференциала 

Дифференциал функции z = g(y) в точке y_0 имеет вид:

dz = g'(y_0) , dy,

где dy — дифференциал тождественного отображения y to y:

dy(h) = h,quad h in mathbb{R}.

Пусть теперь y = f(x),; x in U(x_0),; fin mathcal{D}(x_0). Тогда dy = f'(x_0), dx, и согласно цепному правилу:

dz = g'bigl(f(x_0)bigr) cdot f'(x_0), dx = g'(y_0) , dy.

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример 

Пусть h(x) = (3x^2 - 5x)^7. Тогда функция h может быть записана в виде композиции h = g circ f, где

f(x) = 3x^2-5x,; g(y) = y^7.

Дифференцируя эти фунем

h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 cdot (6x-5).

Многомерный случай 

Пусть даны функции f:U(x_0) subset mathbb{R}^m to V(y_0) subset mathbb{R}^n, где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) subset mathbb{R}^n to mathbb{R}^p. Пусть также эти функции дифференцируемы: fin mathcal{D}(x_0) и g in mathcal{D}(y_0).Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x_0) = dg(y_0) circ df(x_0).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

frac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(x_1,ldots,x_m)} = frac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(y_1,ldots,y_n)} cdot frac{partial(y_1,ldots, y_n)}{partial(x_1,ldots,x_m)}

или

J_{g circ f}(x_0) = J_g(y_0) cdot J_f(x_0).

Следствия 

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

    leftvertfrac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(x_1,ldots,x_m)}rightvert = leftvertfrac{partial(h_1,ldots, h_p)}{partial(y_1,ldots,y_n)}rightvert cdot leftvertfrac{partial(y_1,ldots, y_n)}{partial(x_1,ldots,x_m)}rightvert.

  • Для частных производных сложной функции справедливо

    frac{partial h(x_0)}{partial x_j} = sumlimits_{i=1}^n frac{partial g(y_0)}{partial y_i} frac{partial y_i}{partial x_j},quad j=1,ldots m.

    или в обозначениях Лейбница

    frac{partial z}{partial x_j} = sumlimits_{i=1}^n frac{partial z}{partial y_i} frac{partial y_i}{partial x_j},quad j=1,ldots,m.

  • (Формула полной производной) Пусть f(t,y_1,ldots,y_m):mathbb{R}^{m+1} to mathbb{R}, где y_j = y_j(t,x_1,ldots,x_n),; j=1,ldots m. Тогда

    frac{df}{dt} = frac{partial f}{partial t} + sumlimits_{i=1}^n frac{partial f}{partial y_i} frac{d y_i}{d t}.

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть z = g(y),quad yin V(y_0) subset mathbb{R}^n, и g in mathcal{D}(y_0). Тогда дифференциал функции g в точке y_0имеет вид

dz = J_{g}(y_0),dy,

где dy(h) = h,quad h in mathbb{R}^n — дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь y = f(x),; xin U(x_0)subset mathbb{R}^m,; fin mathcal{D}(x_0), и y_0 = f(x_0). Тогда dy = J_f(x_0), dx, и z=g circ f(x),quad x in U(x_0). Согласно цепному правилу

dz = J_{g circ f}(x_0), dx = J_g(y_0) J_f(x_0), dx = J_{g}(y_0), dy.

Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Примеры

  • Пусть bigl(x(t),y(t)bigr) = ( cos t, sin t ), и f(x,y) = x^2 - y^2. Тогда

    frac{df}{dt} = frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial t} + frac{partial f}{partial y} frac{partial y}{partial t} = 2 cos t  (-sin t) - 2 sin t cos t = -4 sin t cos t = -2 sin 2t.

  • Пусть f(x,y) = xy, и x(u,v) = u^2 v,; y(u,v) = v^3. Тогда

    frac{partial f}{partial u} = frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial u} + frac{partial f}{partial y} frac{partial y}{partial u} = v^3 cdot 2 uv + u^2 v cdot 0 = 2uv^4;

    frac{partial f}{partial v} = frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial v} + frac{partial f}{partial y} frac{partial y}{partial v} = v^3 u^2 + u^2 vcdot 3v^2 = 4 u^2 v^3.


хиты: 28
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь