Дифференциал.

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал  обозначается , а его значение в точке  обозначается .

Неформальное описание 

Рассмотрим гладкую функцию . Проведем касательную к ней в точке , и отложим на ней отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось  была равна . Проекция этого отрезка на ось  называетсядифференциалом функции  в точке  от . Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных  и ,

определяемой соотношением

в частности

ОпределенияП

Для функций

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции  определённой на  ( — область в  илигладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается  и определяется соотношением

где  обозначает производную  по направлению вектора  в касательном расслоении .

Для отображений

Дифференциал гладкого отображения из гладком многообразия в многообразие  есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции  имеем

где  обозначает производную  по направлению . (В левой части равенства берётся производная в  функции  по  в правой — в  функции  по ).

Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

Примеры 

• Пусть в открытом множестве  задана гладкая функция . Тогда , где  обозначает производную , а  является постоянной формой определяемой .
• Пусть в открытом множестве  задана гладкая функция . Тогда . Форма  может быть опеделена соотношением , для вектора .
• Пусть в открытом множестве  задано гладкое отображение . Тогда
      ,
  где  есть матрица Якоби отображения  в точке .