пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Непрерывные функции многих переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1x2,  … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1a2,  … , anО Rn (включая саму точку a).

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim
x → a       
f(x) = f(a).

Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, Δx2 = x2 − a2,  …, Δxn = xn − an. Соответствующее приращение функции u=f(x)

Δu = f(a1 + Δx1a2 + Δx2,   … ,  an + Δxn) − f(a1,  a2,  … ,  an).

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению
Δx = {Δx1, Δx2,  …, Δxn}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

lim
Δx → 0
 Δu = 0.

Приращение

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1a2,  … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δxk аргумента xk.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1x2,  … , xn) называется непрерывной в точке a = (a1a2,  … , an) по переменной xk , если

lim
Δxk → 0
 δxku = 0.

Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1x2,  … , xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1x2,  … , xn .

Обратное утверждение неверно.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D М Rn и непрерывны в точке a = (a1a2,  … , anО D .

Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a

Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.

Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.

Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):

Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.

_______________________________________________________________________

Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x1,x2,…xn) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10,x20,…xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого image007.gif>0 существует такое число image008.gif>0, что из условия image009.gif<image008.gif, где image009.gif- расстояние между точками М и М0, следует image010.gif<image007.gif.

Обозначается:

А image011.gif.

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения image012.gifи image013.gif. Получим приращение image014.gif функции z=f(x,y). Если

 image015.gif              ,                                                                                   (1)

 т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем image016.gifx0+image017.gify+image018.gif-f(x0,y0и положим x0+image019.gifx=x,y0+image020.gif ,то выражение(1) можно записать в виде

    image021.giff(x,y)=f(x 0,y0),                                                                                          (2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.


хиты: 20
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь