Непрерывность функции нескольких переменных
Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2, … , an) О Rn (включая саму точку a).
Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если
|
Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, Δx2 = x2 − a2, …, Δxn = xn − an. Соответствующее приращение функции u=f(x)
Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2, … , an + Δxn) − f(a1, a2, … , an). |
называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению
Δx = {Δx1, Δx2, …, Δxn}.
Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию
|
Приращение
δxku = f(a1, … , ak + Δxk, … , an) − f(a1, a2, … , an) |
называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δxk аргумента xk.
Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) называется непрерывной в точке a = (a1, a2, … , an) по переменной xk , если
|
Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1, x2, … , xn .
Обратное утверждение неверно.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D М Rn и непрерывны в точке a = (a1, a2, … , an) О D .
Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a
Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.
Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.
Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):
Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.
Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.
_______________________________________________________________________
Непрерывность функции нескольких переменных.
Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x1,x2,…xn) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10,x20,…xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого >0 существует такое число >0, что из условия <, где - расстояние между точками М и М0, следует <.
Обозначается:
А .
Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения и . Получим приращение функции z=f(x,y). Если
, (1)
т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.
Распишем x0+y+-f(x0,y0) и положим x0+x=x,y0+ ,то выражение(1) можно записать в виде
f(x,y)=f(x 0,y0), (2)
т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.