пользователей: 21204
предметов: 10449
вопросов: 177330
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Пусть на гладкой дуге АВ задана непрерывная векторная функция 

3-3-001.gif = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

и пусть М(x,y,z) - текущая точка дуги АВ, имеющая радиус – вектор 3-3-002.gif

Обозначим 3-3-003.gif - вектор, направленный по касательной к дуге АВ в точке M

Тогда величина

3-3-004.gif

есть проекция вектора 3-3-005.gif на направление вектора 3-3-006.gif

Таким образом, можно показать, что между криволинейными интегралами первого и второго рода существует связь:

3-3-007.gif

___________________________________________________________________ 

_____________________________________________________________________________

Для начала вспомним геометрический смысл производной

Image7667.gif.

Это выражение - угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х) в точке М(х, у). Пусть дуга АВ линии L задана функцией у = f(х) и в точке М к ней проведены касательная МТ и секущая ММ1 (см. рис. 13). Тогда

Image7668.gif,

где Image7669.gif,

Image7670.gif - угол между касательной и осью ох.

13.gif
Рис. 13

Запишем уравнение линии в параметрическом виде

Image7671.gif

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле

Image7672.gif

и формально имеем

Image7673.gif

Покажем, что это действительно так.

Возьмём в качестве параметра дугу l так, что точкe M(xy) соответствует дуга Image7674.gif, а точке М1 соответствует дуга Image7675.gif, координаты точки М1Image7676.gif.

Вектор Image7677.gif имеет длину Image7678.gif

Длина дуги Image7679.gif равна Image7680.gif.

Рассмотрим предел отношения длины хорды ММ1 к длине дуги, когда точка М1 стремится к точке М:

Image7681.gif

Это значит, что мы имеем дело с эквивалентными бесконечно малыми, т.е. во всех рассуждениях можем длину дуги Image7682.gif заменить длиной хорды (или длиной вектора Image7683.gif). В результате получаем дифференциал дуги (по любому параметру)

Image7684.gif

Image7685.gif Image7686.gif

Теперь можно записать связь между двумя типами криволинейных интегралов:

Image7687.gif

где L - дуга АВ и Image7688.gif, где Image7689.gif - угол между касательной и осью оу. Тогда

Image7690.gif.

Подчеркнём, что угол a связан с тем направлением касательной, которое отвечает выбранному направлению дуги АВ. Если изменить направление, криволинейный интеграл слева, а значит, и справа изменит знак на противоположный.

Для трёхмерного пространства запишем аналогичную формулу

Image7691.gif

где Image7692.gif - направляющие косинусы касательной в предположении, что её направление совпадает с направлением интегрирования.

 


хиты: 19
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь