Криволинейный интеграл второго рода.

Криволинейные интегралы второго рода

Определение

Предположим, что кривая C задана векторной функцией

, где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осейOx, Oy и Oz, соответственно.


Рис.1		Рис.2

Введем векторную функцию

, определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл

. Такой интеграл

называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции

вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где

− единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

где

.

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −Cкривую противоположного направления - от B к A. Тогда
Если C − объединение кривых C₁ и C₂ (рисунок 2 выше), то
Если кривая C задана параметрически в виде , то
Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0и t = x), то последняя формула записывается в виде