Криволинейный интеграл первого рода.

Криволинейные интегралы первого рода

Определение

Пусть кривая C описывается векторной функцией

, где переменная s представляет собойдлину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл

называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл

существует, если функция F непрерывна на кривой C.


Рис.1		Рис.2

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

Интеграл не зависит от ориентации кривой;
Пусть кривая C₁ начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C₂ начинается в точкеB и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться криваяC₁ U C₂, которая проходит от A к B вдоль кривой C₁ и затем от B к D вдоль кривой C₂. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
В полярных координатах интеграл выражается формулой
где кривая C задана в полярных координатах функцией .