Сведение тройного интеграла к повторному.

Пример 1.

Вычислить тройной интеграл 

Данный тройной интеграл является повторным тройным интегралом, а потому его можно вычислять поэтапно, учитывая, что вовнутреннем интеграле изменяется лишь переменная z , а x и y не изменяются (являются постоянными как функции от z ) и могут быть в силу этого вынесены из-под

знака интеграла при интегрировании по z. После проведения двойной подстановки приходим к двойному повторному интегралу , который вычисляем,

вынося из-под внутреннего интеграла x:

Пример 2.

Вычислить тройной интеграл  по области  , ограниченной гиперболическим параболоидом z = x y и плоскостями x + y =1 и z = 0 (z  0)

Область  является элементарной относительно оси z и может быть описана следующим образом:

где G  R₂- область плоскости ( x , y ), ограниченная прямой x + y = 1 и прямыми x = 0 и y = 0 - линиями пересечения гиперболического параболоида z = x y и плоскости z = 0 .

рис 3.11

В свою очередь, G - треугольник на плоскости ( x , y ), является областью элементарной как относительно оси x (см. п.3.3) , так и относительно оси y (см. п.3.3) . Опишем G

G = {(x,y): 0  x  1, 0  y  1 - x}.

Используя эти представления областей  и G и используя теорему 1 пункта 3.4 , перейдем от тройного интеграла к повторномутройному интегралу:

Вычислим полученный повторный интеграл :