Вычисление объёма тела с помощью двойного интеграла.

Рис. 12

Пусть геометрическое тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси 0z, а сверху и снизу– поверхностями  и , где  (D – проекция тела на плоскость 0xy). Тогда объём этого тела вычисляют с помощью

двойного интеграла: .

Рис. 13

Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по области D, где D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,1), B(0,2).

Решение. Построим область D и запишем уравнения линий, ограничивающих эту область. Уравнение OA: y=x; отрезок BA задаётся уравнением x+y=2; OB-x=0.

.

Пример 2. Изобразить область, ограниченную окружностями  и  и записать  в виде двукратных, взятых в различных порядках.

Решение. Приведем уравнение  к каноническому виду: , откуда имеем .

Решая совместно уравнения обеих окружностей, получим абсциссы точек пересечения , . Область D ограничена снизу дугой нижней полуокружности с центром в точке(0,1), а сверху – дугой верхней полуокружности с центром в начале координат. Разрешив уравнения окружностей относительно y, найдём уравнения верхней и нижней границ области D. Из уравнения  имеем , а из уравнения  получим , а .

Поэтому .

Рис. 14

Изменим порядок интегрирования. Область D следует разбить на две области прямой . Разрешим уравнения окружностей относительно x:  и . Границей области D₁ служат дуги окружности  и прямая , а границей D₂– дуги окружности  и прямая . Таким образом, имеем:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями  и .

Рис. 15

Решение. Вычисление площади произведем в полярных координатах: . Получим полярные уравнения обеих окружностей, полагая , . Тогда  или  и , а уравнение второй окружности преобразуем к виду  или . Разобьём область на части лучами  и , уравнения которых получим, решая систему уравнений  относительно . Учитывая симметрию фигуры, вычислим половину её площади, а результат удвоим:

Пример 4. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: , , , .

Рис. 16                                            Рис. 17

Решение. Тело представляет собой цилиндрический брус, ограниченный сверху частью поверхности . Это цилиндрическая поверхность с образующей, параллельнoй оси . Основанием тела является часть плоскости , ограниченная прямой  и ветвью параболы.

Объём тела вычислим по формуле .