§4. Сведение двойного интеграла к повторному
Для нахождения двойных интегралов используются численные методы. Они основаны на определении интеграла. Однако важно уметь находить интеграл аналитически, "вручную". Следующая теорема дает нам такой способ. Она сводит вычисление двойного интеграла к нахождению однократных интегралов.
Теорема 1. Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике P = [a, b] ´ [c, d] и если "x Î [a, b] существует интеграл тогда существует повторный интеграл и он равен двойному:
Замечание 1. Если f(x, y) интегрируема на E и "y Î [c, d] существует то он интегрируем по y на [c, d] и
2. Случай элементарной области. Рассмотрим сначала область, чуть более сложную, чем прямоугольник.
Пусть y = j(x) и y = y(x) - непрерывные функции на [a, b], причем j(x) £ y(x). Рассмотрим множество E = {(x, y) Î R2; x Î [a, b], j(x) £ y £ y(x)}. Мы уже отмечали, что такое множество измеримо. Рисунок:
Рис. 6. Элементарная область первого типа.
Теорема 2. Если функция f(x, y) интегрируема на E и "x Î [a, b] существует интеграл то существует и повторный интеграл и он равен двойному, т.е.
Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место и для областей вида E = {(x, y) Î R2; y Î [c, d], j(y) £ x £ y(y)}, где j(y), y(y) - непрерывные функции на [c, d]. Такое множество измеримо.
Рис. 7. Элементарная область второго типа.
Если f(x, y) интегрируема на E и для любого y Î [c, d] существует интеграл тогда существует и повторный и он равен двойному:
Замечание 2. Рассмотренные области называются элементарными соответственно первого и второго типов. Для вычисления интеграла по более сложной области, ее нужно разбить на конечное число элементарных областей.
Область называется простой, если ее можно разбить на конечное число областей первого типа и отдельно - на конечное число областей второго типа. Приведем пример элементарной области. Кольцо, разбивается вертикальными отрезками на четыре области 1-го типа и, аналогично, горизонтальными отрезками на четыре области 2-го типа.