пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Сведение двойного интеграла к повторному.

§4. Сведение двойного интеграла к повторному

Для нахождения двойных интегралов используются численные методы. Они основаны на определении интеграла. Однако важно уметь находить интеграл аналитически, "вручную". Следующая теорема дает нам такой способ. Она сводит вычисление двойного интеграла к нахождению однократных интегралов.

Теорема 1. Если функция f(xy) интегрируема в прямоугольнике P = [ab] ´ [cd] и если "x Î [ab] существует интеграл image027.gif тогда существует повторный интеграл image028.gif и он равен двойному:

 

image029.gif

Замечание 1. Если f(xy) интегрируема на E и "y Î [cd] существует image030.gif то он интегрируем по y на [cd] и

image031.gif

 

2.  Случай элементарной области. Рассмотрим сначала область, чуть более сложную, чем прямоугольник.

Пусть y = j(x) и y = y(x) - непрерывные функции на [ab], причем j(x) £ y(x). Рассмотрим множество E = {(xy) Î R2x Î [ab], j(x) £ y £ y(x)}. Мы уже отмечали, что такое множество измеримо. Рисунок:

image032.jpg

Рис. 6. Элементарная область первого типа.

            Теорема  2. Если  функция f(xy) интегрируема на E и "x Î [ab] существует интеграл image033.gif то существует и повторный интеграл image034.gif и он равен двойному, т.е.

image035.gif

Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место и для областей вида E = {(xy) Î R2y Î [cd], j(y) £ x £ y(y)}, где j(y), y(y) - непрерывные функции на [cd]. Такое множество измеримо. 

image036.jpg

Рис. 7. Элементарная область второго типа.

Если f(xy) интегрируема на E и для любого y Î [cd] существует интеграл image037.gif тогда существует и повторный и он равен двойному:

image038.gif

Замечание 2. Рассмотренные области называются элементарными соответственно первого и второго типов. Для вычисления интеграла по более сложной области, ее нужно разбить на конечное число элементарных областей.

Область называется простой, если ее можно разбить на конечное число областей первого типа и отдельно - на конечное число областей второго типа. Приведем пример элементарной области. Кольцо, разбивается вертикальными отрезками на четыре области 1-го типа и, аналогично, горизонтальными отрезками на четыре области 2-го типа.

image039.jpg


хиты: 21
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь