Понятие двойного интеграла
Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:
Разбираемся в терминах и обозначениях:
– значок двойного интеграла;
– область интегрирования (плоская фигура);
– подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;
– значки дифференциалов.
Что значит вычислить двойной интеграл?
Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число:
И крайне желательно найти его правильно =)
Результат (число 
) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».
Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.
Как вычислить двойной интеграл?
Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемымповторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:
Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса 
у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса 
у внутреннего интеграла – это функции одной переменной 
, зависящие от «икс».
Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область 
. Область 
представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры иливычислении объема тела вращения. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.
После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл 
, а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.
Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!
Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:
Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками –будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции 
, зависящие от «игрек».
Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:
Пожалуйста, запомните это важное свойство, которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.
Алгоритм решения двойного интеграла:
Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?
1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить. Точнее, решать-то она решается, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область 
, которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Грамотную и быструю технику построения чертежей можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций, Геометрические преобразования графиков. Итак, этап первый – выполнить чертёж.
2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.
3) Взять внутренний интеграл
4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).
Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования.
Как изменить порядок обхода?
В данном параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:
И так:
На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования. Рассмотрим конкретный пример:
Пример 1
Дан двойной интеграл 
с областью интегрирования 
. Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: 
Обычная плоская фигура и ничего особенного.
Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:
Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением 
и выходит из области через параболу 
(красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси 
от 0 до 1 (зелёная стрелка).
Итак, что получилось:
«игрек» изменяется от 0 до 
;
«икс» изменяется от 0 до 1.
В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:
Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или простопорядком интегрирования
После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:
Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения, тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область 
. Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является 
.
Если 
, то 
, причём:
обратная функция 
задает правую ветку параболы;
обратная функция 
задает левую ветку параболы.
Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция 
определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например, 
(с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например, в то же уравнение 
:
Получено верное равенство, значит, функция 
определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.
Более того, данную проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда, после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!
Обходим область интегрирования вторым способом:
Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо. В данном случае он входит в область через ветвь параболы
и выходит из области через прямую, которая задана уравнением 
(красная стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси 
строго снизу вверх от 0 до 1 (зеленая стрелка).
Таким образом:
«икс» изменяется от 
до 1;
«игрек» изменяется от 0 до 1.
Порядок обхода области следует записать в виде неравенств:
И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:
Ответ можно записать следующим образом:
Еще раз напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить пределы интегрирования.
