Аналитическая функция.

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z₀, если сужение функции f на некоторую окрестность z₀ является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z₀ то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z₀.

Аналитическая функция (комплексного переменного) - функция комплексного переменного $f(z)=u(z)+iv(z)$ (где $u(z)$ и $v(z)$ - вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области $Ainmathbb C$ , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных условий:

Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке $z=x+iyin A$ выполняютсяусловия Коши - Римана (аналитичность в смысле Коши - Римана);
Ряд Тейлора функции в каждой точке $zin A$ сходится и его сумма равна $f(z)$ (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
Интеграл $int_Gamma,f(z),dz=0$ для любой замкнутой кривой $Gammasubset A$ (аналитичность в смысле Коши)

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трех определений.

Свойства

Если $f(z)$ и $g(z)$ аналитичны в области $Gsubsetmathbb C$ , то аналитическими в $G$ также будут функции $f(z)pm g(z)$ , $f(z)cdot g(z)$ и $f(g(z))$ .
Если $g(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то $frac{f(z)}{g(z)}$ будет аналитична в $G$
Если $f'(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то $f^{-1}(z)$ будет аналитична в $G$ .

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно - определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции - в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме - множество нулей аналитической в односвязной области функции не может иметь в этой области предельных точек, в противном случае функция тождественно равна нулю.

Примеры

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости $mathbb C$ . Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определенных областях) являются элементарные функции.

Но:

Функция $f(z)=|z|$ не является аналитической в $mathbb C$ , так как она не имеет производной в точке $z=0$ .
Функция $f(z)=overline{z}$ не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции $f(z)=z$