Теорема Абеля о степенном ряде.

Теорема Абеля. Пусть степенной ряд $sumlimits_{n=0}^{infty}c_n x^n$ сходится в какой-то точке $x_1 not= 0$ . Тогда этот ряд сходится $forall x: |x|< |x_1|$ (абсолютно).

Доказательство. Ряд $sumlimits_{n=0}^{infty}c_n x^n$ сходится в точке $x_1$ в обычном смысле $Rightarrow sumlimits_{n=0}^{infty}c_n x_1^n$ сходится $Rightarrow$ числовая последовательность ${ c_n x_1^n }$ сходится к нулю $Rightarrow { c_n x_1^n }$ ограничена, то есть $exists M>0 : forall n |c_n x_1^n|<M$

Рассмотрим $forall x : |x| < |x_1|$ . Обозначим $q = |frac{x}{x_1}| Rightarrow 0<q<1$

Рассмотрим $sumlimits_{n=0}^{infty}|c_n x^n|$ : $|x_n x^n | = |c_n x_1^n frac{x^n}{x_1^n}|= |c_n x_1^n||frac{x}{x_1}|^n le M q^n Rightarrow sumlimits_{n=0}^{infty}M q^n$ сходится, следовательно числовой ряд $sumlimits_{n=0}^{infty}|c_n x^n|$ (для фиксированного $x$ ) сходится по признаку сравнения $Rightarrow$ $sumlimits_{n=0}^{infty}c_n x^n$ сходится абсолютно на множестве $|x|<|x_1|$

Следствие. Если степенной ряд $sumlimits_{n=0}^{infty}c_n x^n$ расходится в точке $x_2$ , то этот ряд расходится $forall x: |x|>|x_2|$ .

Определение. Если $R$ - неотричательное число или $+ infty$ обладает тем свойством, что степенной ряд $sumlimits_{n=0}^{infty}c_n x^n$ сходится на множестве $|x|<R$ и расходится на множестве $|x|>R$ , то $R$ называется радиусом сходимости данного степенного ряда. В этом случае интервал $(-R, R)$ называется интервалом сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного рядка может не совпадать с интервалом сходимости, так как может включаться точка $pm R$