Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть 
выполняется неравенство 
. Пусть, кроме того, ряд 
сходится. Тогда ряд 
сходится на множестве 
абсолютно и равномерно.
Доказательство. Достаточно проверить справедливость критерия Коши, т.е. доказать, что 
. Но последнее неравенство следует из того, что 
, а для ряда выполняется критерий Коши, т.е. 
.
Примеры использования теоремы.
Пример 1. Ряд 
равномерно (и абсолютно) сходится на 
. Действительно, при 
выполнена оценка 
, а ряд 
сходится.
Пример 2. 
равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. для всех 
, а 
- сходится.
________________________________________________________________________
ВЕЙЕРШТРАССА ПРИЗНАК
равномерной сходимости - утверждение, дающее достаточные условия равномерной сходимости ряда или последовательности функций посредством сравнения их с соответствующими числовыми рядами и последовательностями; установлен К. Вейерштрассом [1]. Если для ряда
составленного из действительных или комплексных функций, определенных на нек-ром множестве Е,существует числовой сходящийся ряд
такой, что
то исходный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве Е. Напр., ряд
абсолютно сходится на всей действительной оси, поскольку
и ряд
t
СХОДИТСЯ.
Если для последовательности действительных или комплексных функций 
сходящейся на множестве 
к функции 
, существует бесконечно малая числовая последовательность 
такая, что 
то данная последовательность сходится на множестве Еравномерно. Напр., последовательность
равномерно на всей действительной оси сходится к функции 
так как
В. п. равномерной сходимости переносится на функции, значения к-рых лежат в нормированных линейных пространствах.
