пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Равномерная сходимость на множестве.

Для равномерной сходимости на множестве E ряда sumlimits_{n = 1}^infty a_n(x) b_n(x) , a_n:E to mathbb C и b_n:E to mathbb R достаточно, чтобы выполнялась пара условий forall x in E:

1)Частичные суммы S_k(x)= sumlimits_{n = 1}^k a_n(x) ряда sumlimits_{n = 1}^infty a_n(x) равномерно ограничены на E

2)Последовательность функций b_n(x) монотонна и сходится к нулю на E.

 

triangleright

Монотонность последовательности b_n(x) позволяет при каждом x in E записать оценку:

|sumlimits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| leq 4  max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )

где n - 1 leq k leq m и в качестве A_k(x) возьмем S_k(x) - S_{n-1}(x) .

Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная M,что |A_k(x)| leq  M при любом k in N и любом x in E, а с другой стороны, какого бы ни было число varepsilon > 0, при всех достаточно больших значениях m и n и любом xin E будет выполнено неравенство max( |b_n(x)|, |b_m(x)| ) < frac{varepsilon}{4M}. Значит, что при всех достаточно больших значениях m и n и любом x in E будет |sumlimits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| < varepsilon, т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.
triangleleft

хиты: 18
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь