Для равномерной сходимости на множестве ряда , и достаточно, чтобы выполнялась пара условий :
1)Частичные суммы ряда равномерно ограничены на
2)Последовательность функций монотонна и сходится к нулю на .
Монотонность последовательности позволяет при каждом записать оценку: где и в качестве возьмем . Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная ,что при любом и любом , а с другой стороны, какого бы ни было число , при всех достаточно больших значениях и и любом будет выполнено неравенство . Значит, что при всех достаточно больших значениях и и любом будет , т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости. |