пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Необходимый признак сходимости бесконечного произведения.

В математике для последовательности чисел a_1,a_2,a_3,\dots бесконечное произведение

\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1a_2a_3\dots

определяется как предел частичных произведений a_1a_2\dots a_n при n\to\infty. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм. Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство \lim_{n\to\infty}a_n=1. Следовательно, логарифм \ln a_nопределён для всех n, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость, исключив из последовательность \{a_n\} это конечное число членов, получим равенство:

\ln \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \ln a_n,

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого n a_n\geqslant 1, обозначим p_n=a_n-1, тогда a_n=p_n+1 и p_n\geqslant 0, откуда следует неравенство:

1+\sum_{n=1}^{N} p_n \leqslant \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \leqslant \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

которое показывает, что бесконечное произведение \prod_{n=1}^{\infty} a_n сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма \sum_{n=1}^{\infty} p_n.


11.09.2013; 18:26
хиты: 21
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь