В математике для последовательности чисел бесконечное произведение
определяется как предел частичных произведений при . Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм. Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство . Следовательно, логарифм определён для всех , за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость, исключив из последовательность это конечное число членов, получим равенство:
в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого , обозначим , тогда и , откуда следует неравенство:
которое показывает, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма .