Аналитическое выражение, имеющее вид произведения бесконечного множества сомножителей, называется бесконечным произведением. Дадим более детальное и строгое определение этого понятия.
Определение 1: Пара последовательностей комплексных чисел {an} и {pn}, где
pn = a1a2 … an, n = 1, 2, …, (1.1)
называется бесконечным произведением и обозначается
(1.2)
Члены последовательности {an} называются сомножителями бесконечного произведения (2.2), а члены последовательности {pn} – его частичными произведениями (порядка n).
Если последовательность частичных произведений {pn} имеет коечный или определенного знака бесконечный предел р:
p = = , (1.3)
то этот предел называют значением бесконечного произведения (1.2) и пишут
pn = a1 a2 … an =
Таким образом, аналогично случаю ряда, здесь одним и тем символом обозначают как само бесконечное произведение, так его значение, если оно существует.
Если хотя бы один из сомножителей бесконечного произведения равен нулю, то и значение этого бесконечного произведения равно нулю:
= 0
Поэтому естественно предполагать, что все сомножители рассматриваемых бесконечных произведений отличны от нуля. Это всегда и будем делать в дальнейшем, не упоминая об этом специально.
Особый интерес представляют бесконечные произведения, значениями которых являются числа, отличные от нуля, так как для них можно построить теорию, аналогичную теории сходящихся рядов. Этим оправдывается следующее определение.
Определение 2: Бесконечное произведение называется сходящимся, если оно имеет конечное значение, отличное от нуля.
В противном случае бесконечное произведение называется расходящимся. Таким образом, бесконечное произведение называется расходящимся, если предел последовательности его частичных произведений либо равен нулю, либо ∞, либо не существует. В частности, если
= 0,
То произведение называется расходящимся к нулю.
Если в бесконечном произведении (2.2) отбросить первые n сомножителей, то получившееся бесконечное произведение
(1.4)
Называется n-м остаточным произведением.
Отметим простейшие свойства бесконечных произведений:
1°. Если бесконечное произведение сходится, то и все его остаточные произведения сходятся.
Если какое – либо остаточное произведение сходится, то и само бесконечное произведение сходится.
Таким образом, для бесконечного произведения как отбрасывание конечного множества первых сомножителей, так и присоединение конечного множества отличных от нуля первых сомножителей, не влияют на его сходимость.
2°. Если бесконечное произведение (2.2) сходится, то последовательность его остаточных произведений
qn = (1.5)
имеют пределом единицу:
= 1. (1.6)
Доказательство:
Если
= р, (1.7)
то
n = = = .
Так как
= p ≠ 0,
то
= = = 1.
3°. (необходимое условие сходимости бесконечного произведения) Если бесконечное произведение (1.2) сходится, то последовательность его сомножителей стремится к единице:
= 1. (1.8)
Доказательство:
В самом деле, an = , n = 2, 3, …, поэтому
= = = 1.
Отметим, что выполнение условия (1.8), т.е. стремление последовательности сомножителей бесконечного произведения к единице, недостаточно для его сходимости. [3, с. 59 - 63]