Признак Дирихле сходимости числовых рядов.
Ряд 
сходится, если последовательность частичных сумм ряда 
ограниченна, т.е. 
M(2), а последовательность 
монотонно стремится к нулю, т.е. 
(3) для всех n
N или 
(3’) для всех nN и 
.
Покажем, что для ряда (1) выполняется условие Коши. Введем следующие обозначения 
(5), 
nN, pN (6). Преобразуем σ, учитывая, что 
при k>1, согласно формуле (5). Получим σ=
, где 
=
. Поэтому σ=
+
(7).
Если справедливо неравенство (3), то из формулы (7) и условия (2) следует, что |σ
+
, где 
≤
Таким образом, для всех nN и для всех pN выполняется неравенство |σ
(8). Условие (8) остается в силе, если заменить (3) условием (3’). Условие (4) означает, что 
(9), а из (6), (8) и (9) следует, что 
, т.е. ряд (1) удовлетворяет условию Коши. Следовательно, этот ряд сходится.•
