Признак Абеля сходимости числового ряда.

Признаком Абеля сходимости числового ряда называется утверждение:

"Числовой ряд $~ sum_{i = 0}^infty a_i b_i$ сходится, если последовательность $~ mathrm{a}: mathbb{N} mapsto mathbb{R}$ ограниченна и монотонна, и ряд $~ sum_{i = 0}^infty b_i$ сходится".

Указанное утверждение равносильно следующему математическому предложению:

$~ mathrm{a}: mathbb{N} mapsto mathbb{R} quad land quad exist_{x in mathbb{R}} (forall_{n in mathbb{N}} (x ge a_n land a_{n+1} ge a_n ) quad lor quad forall_{n in mathbb{N}} (x le a_n land a_{n+1} le a_n)) quad land$

$~ mathrm{b}: mathbb{N} mapsto mathbb{R} quad land quad (sum_{i = 0}^infty b_i) in mathbb{R} quad Rightarrow quad (sum_{i = 0}^infty a_i b_i) in mathbb{R}$ ,

где:

1) $~ mathrm{a}: mathbb{N} mapsto mathbb{R} quad Leftrightarrow quad mathrm{a} = {langle n, a_n rangle| quad langle n, a_n rangle in mathbb{N} times mathbb{R} land a_n = a(n)}$ ,

2) $~ mathrm{b}: mathbb{N} mapsto mathbb{R} quad Leftrightarrow quad mathrm{b} = {langle n, b_n rangle| quad langle n, b_n rangle in mathbb{N} times mathbb{R} land b_n = b(n)}$ ,

3) $~ (sum_{i = 0}^infty b_i) in mathbb{R} quad Leftrightarrow quad exists_{L in mathbb{R}} (L = sum_{i = 0}^infty b_i) quad Leftrightarrow quad exists_{L in mathbb{R}} (L = lim_{n to infty} sum_{i = 0}^n b_i) quad Leftrightarrow$

$~ exists_{L in mathbb{R}} forall_{varepsilon in (0, infty)} exists_{N in mathbb{N}} forall_{n in mathbb{N} land n > N} (|L - sum_{i = 0}^n b_i| < varepsilon)$ ,

4) $~ (sum_{i = 0}^infty a_ib_i) in mathbb{R} quad Leftrightarrow quad exists_{L in mathbb{R}} (L = sum_{i = 0}^infty a_ib_i) quad Leftrightarrow quad exists_{L in mathbb{R}} (L = lim_{n to infty} sum_{i = 0}^n a_ib_i) quad Leftrightarrow$

$~ exists_{L in mathbb{R}} forall_{varepsilon in (0, infty)} exists_{N in mathbb{N}} forall_{n in mathbb{N} land n > N} (|L - sum_{i = 0}^n a_ib_i| < varepsilon)$ .