Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

Ряд  называется абсолютно сходящимся, если ряд  также сходится. 
Если ряд  сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. 
Ряд  называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 
 

   Пример 1

Исследовать на сходимость ряд . Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится. 
 

   Пример 2

Исследовать на сходимость ряд . Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится. 
 

   Пример 3

Определить, является ли ряд  абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно. 
 

   Пример 4

Определить, является ли ряд  абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя: Таким образом, исходный ряд расходится. 
 

   Пример 5

Исследовать на сходимость ряд Общий член данного ряда равен . Применим признак Даламбера к ряду , составленному из модулей: Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно. 
 

   Пример 6

Исследовать, является ли ряд  абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся: Рассмотрим теперь сходимость ряда , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем Следовательно исходный ряд  сходится условно. 

   Пример 7

Определить, является ли ряд  абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Сначала применим признак Лейбница: Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей  с расходящимся гармоническим рядом : Поскольку ряд , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.