Признак Лейбница сходимости знакопеременного числового ряда.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

$sum_{n=1}^infty b_n = sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1},a_n, ; a_n>0$

Признак Лейбница

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда

$sum_{n=1}^infty b_n = sum_{n=1}^infty (-1)^{n-1},a_n, ; a_n>0$

выполняются следующие условия:

$a_{n+1} < a_n$ (монотонное убывание {a_n})
$lim_{n to infty} , a_n = 0$ .

Тогда этот ряд сходится.

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( $sum_{n=1}^infty a_n$ ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность $a_n$ существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

$sum_{n=1}^infty (-1)^{n+1} frac{1}{n} ;$ . Ряд из модулей имеет вид $sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

знакочередование выполнено $b_n = (-1)^{n+1},a_n, ; a_n>0$
$frac{1}{n+1}<frac{1}{n} , ;forall ;n$
$lim_{n to infty} , frac{1}{n} = 0$ .

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница [править]

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

$r_n < left| a_{n+1}right|$ .