Признак Коши сходимости числового ряда.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

$sum_{n=1}^infty a_n$

с неотрицательными членами существует такое число $d$ , $0<d<1$ , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство $sqrt[n]{a_n}<d$ , то данный ряд сходится.

Предельная форма [править]

Условие радикального признака равносильно следующему:

$lim_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}<1$

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

$sum_{n=1}^infty a_n (a_n ge ; 0) existslim_{n to infty}sqrt[n]{a_n}=l ;$ , то

если $0le l<1$ ряд сходится,

если $l>1$ ряд расходится,

если $l=1$ вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть $l < 1$ . Очевидно, что существует такое $varepsilon > 0$ , что $l + varepsilon < 1$ . Поскольку существует предел $lim_{n to infty}sqrt[n]{a_n}=l$ , то подставив в определение предела выбранное $varepsilon$ получим:

$vert sqrt[n]{a_n} - l vert < varepsilon$

Раскрыв модуль, получаем:

$- varepsilon < sqrt[n]{a_n} - l < varepsilon$

$l - varepsilon < sqrt[n]{a_n} < l + varepsilon$

$(l - varepsilon)^n < a_n < (l + varepsilon)^n$

Поскольку $l + varepsilon < 1$ , то ряд $sum_{n=1}^{infty} (l + varepsilon)^n$ сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд $sum_{n=1}^{infty} a_n$ тоже сходится.

2. Пусть $l > 1$ . Очевидно, что существует такое $varepsilon > 0$ , что $l - varepsilon > 1$ . Поскольку существует предел $lim_{n to infty}sqrt[n]{a_n}=l$ , то подставив в определение предела выбранное $varepsilon$ получим:

$vert sqrt[n]{a_n} - l vert < varepsilon$

Раскрыв модуль, получаем:

$- varepsilon < sqrt[n]{a_n} - l < varepsilon$

$l - varepsilon < sqrt[n]{a_n} < l + varepsilon$

$(l - varepsilon)^n < a_n < (l + varepsilon)^n$

Поскольку $l - varepsilon > 1$ , то ряд $sum_{n=1}^{infty} (l - varepsilon)^n$ расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд $sum_{n=1}^{infty} a_n$ тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

$sum_{n=1}^infty frac{n}{2^n}$

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

$lim_{n to infty}sqrt[n]{a_n}=frac{1}{2}$

2. Рассмотрим ряд

$sum_{n=1}^infty {left(frac{n-1}{n+1}right)}^{n(n-1)}$

$lim_{n to infty}sqrt[n]{a_n} = lim_{n to infty} {left(frac{n-1}{n+1}right)}^{n-1} = lim_{n to infty} {left(1 - frac{2}{n+1}right)}^{n-1} = e^{-2} < 1 Rightarrow$ ряд сходится.