Сходимость рядов. Признак Даламбера
Пусть задана бесконечная последовательность чисел 
. Выражение 
называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.
Числовой ряд часто записывают в виде 
.
Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его 
-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании .
Следствие. Если -й член ряда не стремится к нулю при 
, то ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение 
-го члена ряда к -му при имеет конечный предел 
, т.е. 
, то:
- ряд сходится в случае 
,
- ряд расходится в случае 
.
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.
Примеры решения задач
Пример 1. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение.
Применим признак сходимости Даламбера. Сначала запишем формулы для 
-го и 
-го членов ряда:
Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку 
, то данный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение.
Применим признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для 
-го и 
-го членов ряда:
Найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку 
, то данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение.
Используем признак сходимости Даламбера, а также определение функции факториал. Поскольку для каждого целого положительного числа 
функция 
(читается «n факториал»), по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. 
, то 
.
Теперь запишем формулы для -го и 
-го членов ряда:
С учетом вышесказанного найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 
, устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение.
Используем признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для 
-го и 
-го членов ряда:
С учетом того, что 
, найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 
, устанавливаем, что данный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда 
, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Запишем формулы для 
-го и 
-го членов ряда:
.
Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 
, устанавливаем, что данный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда 
, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Запишем формулы для 
-го и 
-го членов ряда:
Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку 
, то данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда 
, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Сначала запишем формулы для 
-го и 
-го членов ряда:
Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку 
, то данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда 
, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Предварительно вспомним, что для каждого целого положительного числа 
функция 
, по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. 
.
Тогда для 
и 
получим: 
,
.
Теперь запишем формулы для -го и 
-го членов ряда:
Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при 
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 
, устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
