Признаки сравнения для положительных числовых рядов
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.
Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но эта статья была бы неполной без данной информации.
Признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда 
и 
. Если известно, что ряд 
– сходится, и выполнено неравенство 
(для 
), то ряд
тоже сходится.
Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов
Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» теории числовых рядов является предельный признак сравнения, по распространенности применения с ним может конкурировать разве чтопризнак Даламбера.
Предельный признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда 
и 
. Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу 
: 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Важные примечания:
1) Если речь идёт о двух сходящихся рядах, то предел может быть равен и нулю (но не бесконечности).
2) Если речь идёт о двух расходящихся рядах, то предел может быть равен и бесконечности (но не нулю).
Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.
Сразу рассмотрим пример, для которого не сработал только что рассмотренный признак сравнения.
Пример
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
.
Используем признак сравнения:
Если 
, то 
Если 
, то 
Если 
, то 
Таким образом, для всех членов ряда выполнено неравенство 
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .
Примечание: И здесь есть неформальный смысл. Доказано, что гармонический ряд расходится, следовательно, сумма его членов: 
. Мы показали, что члены ряда 
ещё больше членов ряда , и совершенно понятно, что сумма ряда 
не может быть меньше бесконечности.
