Необходимый признак сходимости числового ряда.

Теорема. Если ряд сходится, то  u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1). Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = =u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд  расходится, так как

u_n=.

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд

         (6)

расходится, хотя u_n=

Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем.