пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Объём тела вращения.

Объём тела вращения

 

Пусть T — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x).

 

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

 

V=pi intlimits_{a}^{b} f^2(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}y^2,dx,.

 

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве Pi выберем плоскость Oyz, перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии x от плоскости Oyz, является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x). Далее, если S(x_1)leqslant S(x_2), то это значит, что f(x_1)leqslant f(x_2). Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром O, и из f(x_1)leqslant f(x_2) вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2).


Чертёж тела вращения вокруг оси абсцисс

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

 

V=pi intlimits_{a}^{b} S(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}f^2(x),dx,.

 

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), то

 

V= pi intlimits_{a}^{b}y_2^2,dx- pi intlimits_{a}^{b}y_1^2,dx= piintlimits_{a}^{b}Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)Bigr)dx,.

 

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

 

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

 

Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок [x_k;x_{k+1}]. Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

 

Delta V_k= pi y_k x_{k+1}^2- pi y_k x_k^2= pi y_k bigl(x_{k+1}+x_kbigr) bigl(x_{k+1}-x_kbigr).

 

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

 

2pi sum_{k=0}^{n-1} m_kx_kDelta x_k leqslant Vleqslant 2pi sum_{k=0}^{n-1} M_kx_kDelta x_k,.

 

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат:

 

V=2pi intlimits_{a}^{b} xy,dx,.
(4)

 


 

Пример 4. Найдем объем шара радиуса R.

 

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса R с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси Ox, образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2, поэтому y^2=R^2-x^2. Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

 

frac{1}{2}V= piintlimits_{0}^{R}y^2,dx= piintlimits_{0}^{R} (R^2-x^2),dx= left.{pi!left(R^2x- frac{x^3}{3}right)}right|_{0}^{R}= pi!left(R^3- frac{R^3}{3}right)= frac{2}{3}pi R^3.

 

Следовательно, объем всего шара равен frac{4}{3}pi R^3.

 



Конус, образованный вращением прямой вокруг оси абсцисс

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого h и радиус основания r.

 

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA запишется в виде y=frac{r}{h},x.

 

Пользуясь формулой (3), получим:

 

V=pi intlimits_{0}^{h} y^2,dx= pi intlimits_{0}^{h} frac{r^2}{h^2},x^2,dx= left.{frac{pi r^2}{h^2}cdot frac{x^3}{3}}right|_{0}^{h}= frac{pi}{3},r^2h,.

 


 

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды begin{cases}x=acos^3t,,\ y=asin^3t,.end{cases} (рис. 48).


Объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной tпределы интегрирования.

 

Если x=acos^3t=0, то t=frac{pi}{2}, а если x=acos^3t=a, то t=0. Учитывая, что y^2=a^2sin^6t и dx=-3acos^2tsin{t},dt, получаем:

 

V&=pi intlimits_{a}^{b} y^2,dx= pi intlimits_{pi/2}^{0} a^2sin^6t bigl(-3acos^2tsin{t}bigr),dt= ldots= frac{16pi}{105},a^3.

 

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет frac{32pi}{105},a^3.

 


 

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}).end{cases}.

 

Решение. Воспользуемся формулой (4): V=2pi intlimits_{a}^{b}xy,dx, и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной t от 0 до 2pi. Таким образом,

 

begin{aligned}V&= 2pi intlimits_{0}^{2pi} a(t-sin{t})a(1-cos{t})a(1-cos{t}),dt= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi} (t-sin{t})(1-cos{t})^2,dt=\ &= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi}bigl(t-sin{t}- 2tcos{t}+ 2sin{t}cos{t}+ tcos^2t- sin{t}cos^2tbigr),dt=\ &= left.{2pi a^3!left( frac{t^2}{2}+ cos{t}- 2tsin{t}- 2cos{t}+ sin^2t+ frac{t^2}{4}+ frac{t}{4}sin2t+ frac{1}{8}cos2t+ frac{1}{3}cos^3tright)}right|_{0}^{2pi}=\ &= 2pi a^3!left( 2pi^2+1-2+pi^2+frac{1}{8}+ frac{1}{3}-1+2- frac{1}{8}- frac{1}{3}right)= 6pi^3a^3. end{aligned}

 


хиты: 24
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь