Можно показать, что если сходится интеграл 
, то обязательно сходится интеграл 
(идея доказательства: разобьем отрезок Xb = [a, b] на два множества, 
и 
, т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна. Тогда 
, 
. В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом b, ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при 
. Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла интеграл может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.
Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно. Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость: 15. 
. 
; интеграл от большей функции сходится, следовательно, 
сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. 16. 
. 
, первый множитель, 
, стремится к нулю при 
, следовательно, ограничен: 
, интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл 
. 1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: 
.
Для последнего интеграла 
, т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится. 2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что 
расходится. Так как 
, то 
, для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится. Вывод - исходный интеграл сходится условно.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля: 1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке 
, причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно); 2. g(x) монотонна и ограничена: 
.
Тогда интеграл 
сходится. признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b):
; 2. g(x) монотонно стремится к нулю при 
: 
.
Тогда интеграл сходится. Применим, например, признак Дирихле к . Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.
