Пусть функция определена для всех , где - некоторое число, и интегрируема на любом отрезке , где . Если существует конечный предел
,
то говорят, что функция интегрируема в несобственном смысле на промежутке . Этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода и обозначается
Обычно, если конечный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же конечного предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Если с>a, то несобственные интегралы
и сходиться или расходиться одновременно.
Действительно, если для любого b>a функция интегрируема, то
, откуда и следует что оба несобственных интеграла одновременно или существуют, или не существуют.
Аналогично можно определить несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков.