Т. (необходимое условие интегрируемости.) Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем.
Из определения интеграла вытекает, что для любой последовательности разбиений с некоторого момента интегральные суммы будут отличаться от значения интеграла не более, чем скажем на 1. Т.е.
Предположим, что существует неограниченная функция, которая тем не менее является интегрируемой. Возьмем произвольное разбиение отрезка Т. Из неограниченности функции на отрезке [ a, b ] вытекает, что по крайней мере на одном из отрезков [ xk-1 , xk] функция принимает сколь угодно большое значение. Так как длина отрезка [ xk-1 , xk] фиксирована, то всегда можно подобрать такую последовательность точек, что
. Если зафиксировать точки x на прочих отрезках, тогда интегральная сумма, рассчитанная без учета отрезка [ xk-1 , xk ] является фиксированной величиной, а значит предел :
Следовательно, для любого разбиения множество возможных значений интегральных сумм не ограничено. А это противоречит следствию из определения интеграла, записанному выше.
