Интеграл Римана.

Определение интеграла Римана

Пусть $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R}.$ Сумма $S_p(f,xi_p)=sum_{k=0}^{n-1}f(xi_k)(x_{k+1}-x_k),$ где $ninmathbb{N},~a=x_0 leqslant xi_0 leqslant x_1 leqslant xi_1 leqslant x_2 leqslant ldots leqslant xi_{n-1} leqslant x_n=b,$ называется интегральной суммой Римана. При этом множество точек $P=P_{[a,b]}-{x_k mid k=overline{0,n}}$ разбиением сегмента $[a,b],$ а множество $xi_P={xi_k mid k=overline{0,n-1}}$ — совокупностью промежуточных точек. Обозначим через $|P|=max_{0 leqslant k leqslant n-1}Delta x_k,$ где $Delta x_k = x_{k+1}-x_k,$ норму (или диаметр) разбиения $P$ .

Число $Iinmathbb{R}$ называется интегралом Римана функции $[a,b]mathop{to}^fmathbb{R},$ если

$forallvarepsilon>0~existsdelta>0 colon forall(P_{[a,b]},xi_P)~|P|<delta~Rightarrow~|I-S_P(f,xi_P)|<varepsilon.$

Сама функция $f$ при этом называется интегрируемой по Риману на сегменте $[a,b],$ а класс всех таких функций будем обозначать символом $mathbb{R}_{[a,b]}.$ Очевидно, что если $finmathbb{R}_{[a,b]},$ то она ограничена на этом сегменте.

Верхней и нижней интегральными суммами Дарбу ограниченной функции $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R},$ соответствующими разбиению $P=P_{[a,b]},$ называются соответственно суммы:

$overline{S}_P(f)=sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,~~underline{S}_P(f)=sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k,$ , где $M_k=sup_{xin[x_k,x_{k+1}]}f(x),~~m_k=inf_{xin[x_k,x_{k+1}]}f(x)$

Верхним и нижним интегралами Дарбу ограниченной функции $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R}$ называются соответственно числа:

$overline{int}f,dx=inf_{P_{[a,b]}}overline{S}_P(f),~~underline{int}f,dx=sup_{P_{[a,b]}}underline{S}_P(f).$

Функция $f$ называется интегрируемой в смысле Дарбу на сегменте $[a,b],$ если $overline{int}f,dx=underline{int}f,dx,$ а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегралом Дарбу функции $f$ на сегменте $[a,b].$

Теорема 1. Если интеграл Римана и определённый интеграл Ньютона-Лейбница функции $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R}$ существуют одновременно, то они равны друг другу.

Теорема 2. Для ограниченной функции $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R}$ интегралы Римана и Дарбу эквивалентны, то есть они существуют или не существуют одновременно, а в случае существования их значения совпадают.

Для интеграла Римана (Дарбу) используют то же обозначение, что и для интеграла Ньютона-Лейбница $intlimits_{a}^{b}f(x),dx.$

Множество $Xsubsetmathbb{R}$ имеет лебегову (жорданову) меру 0, если $forallvarepsilon>0$ существует такое счётное (конечное) покрытие множества $X$ семейством интегралов ${(alpha_i,beta_i) mid iinmathbb{N}}~({(alpha_i,beta_i) mid i=overline{1,n}}),$ что

$forall n_1inmathbb{N}~sum_{k=1}^{n_1}(beta_k-alpha_k)<varepsilon~left(sum_{k=1}^{n}(beta_k-alpha_k)<varepsilon right).$ При этом будем писать $mu_L(X)=0~(mu_G(X)=0).$

Теорема 3. Пусть $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R}$ ограниченная функция и $Esubset[a,b]$ — множество точек разрыва. Функция $f$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда $E$ — множество лебеговой меры 0.

Пусть $finmathbb{R}_{[a,b]}$ и $forall xin[a,b]~Phi(x)=intlimits_{a}^{x}f(t),dt$ . Тогда имеют место следующие свойства.

Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления). Функция $Phi$ дифференцируема в каждой точке $xin[a,b]$ , в которой $f$ непрерывна в этих точках

$Phi'(x)=frac{d}{dx}!left(intlimits_{a}^{x}f(t),dtright)=f(x).$

Теорема 5 (основная формула интегрального исчисления). Если множество точек разрыва функции $f$ = не более чем счётно, то функция $Phi$ является первообразной в широком смысле для $f$ и имеет место формула Ньютона-Лейбница

$intlimits_{a}^{b}f(x),dx=Bigl.{Phi(x)}Bigl|_{x=a}^{x=b}=Phi(b)-Phi(a).$

Пусть $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R},~f in C([a,b])$ и функции $[alpha,beta]mathop{to}^{varphi}mathbb{R},~[alpha,beta]mathop{to}^{psi}mathbb{R}$ дифференцируемы на $[alpha,beta],~E_{varphi} subset D_f,~E_{psi} subset D_f.$ Тогда

$frac{d}{dx}!left(intlimits_{varphi(x)}^{psi(x)}f(t),dtright)=f(varphi(x))varphi'(x)-f(psi(x))psi'(x).$

Пусть $f in C([a,b]),[a,b]subset[A,B],[alpha,beta]mathop{to}^{varphi}mathbb{R}$ — дифференцируемая функция и $varphi'inmathbb{R}_{[a,b]},E_{varphi} subset D_{f},varphi(alpha)=a,varphi(beta)=b.$ Тогда имеет место равенство

$intlimits_{a}^{b}f(x),dx=intlimits_{alpha}^{beta}((f circ varphi)cdotvarphi')(t),dt,$

которое называется формулой замены переменной в интеграле Римана.

Пусть $[a,b]mathop{to}^{f}mathbb{R},~[a,b]mathop{to}^{g}mathbb{R}$ — дифференцируемые функции, $f' cdot g=mathbb{R}_{[a,b]}.$ Тогда $f cdot g'=mathbb{R}_{[a,b]}$ и выполняется равенство

$intlimits_{a}^{b}f(x)g'(x),dx=Bigl.{f(x)g(x)}Bigl|_{x=a}^{x=b}-intlimits_{a}^{b}f'(x)g(x),dx,$

которое называется формулой интегрирования по частям.

Пусть $E subset X.$ Функция $chi_{{}_E}colonmathbb{R}tomathbb{R}$ называется характеристической функцией множества $E,$ если

$chi_{{}_E}(x)=begin{cases}1,&x in E,\0,&x in X setminus E.end{cases}$

Если $Esubset[a,b],~fcolon[a,b]tomathbb{R}$ — ограниченная функция и $f cdot chi_{{}_E}inmathbb{R}_{[a,b]},$ то определим интеграл Римана от функции $f$ на множестве $E$ как

$intlimits_{E}f(x),dxmathop{=}limits^{operatorname{def}}intlimits_{a}^{b}(fcdotchi_{{}_E})(x),dx.$

Пусть $Esubset[a,b],~f colon Etomathbb{R}$ — ограниченная функция. Рассмотрим продолжение $F$ этой функции на весь сегмент $[a,b],$ где

$F(x)=begin{cases}f(x),&x in E,\0,&xin[a,b]setminus E.end{cases}$

Если $Finmatnbb{R}_{[a,b]},$ то определим

$intlimits_{E}f(x),dxmathop{=}limits^{operatorname{def}}intlimits_{a}^{b}F(x),dx.$

Точка $x_0$ в упорядоченном пространстве $Omega=(M,leqslant)$ называется граничной точкой (точкой границы) множества $X subset M,$ если любая окрестность этой точки содержит как точки множества $X,$ так и точки множества $CX.$ Совокупность всех граничных точек множества $X$ называется границей этого множества и обозначается $Gamma(X).$

Если граница $Gamma(X)$ ограниченного множество $Einmathbb{R}$ имеет лебегову меру 0, то это множество называется измеримым по Жордану, а интеграл

$intlimits_{E}dx=intlimits_{a}^{b}chi_{{}_E}(x),dx$

называется мерой Жордана множества $E$ и обозначается $mu_{{}_G}(E),$ где $[a,b]$ — произвольный сегмент, содержащий множество $E.$