Первообразная.

Первообразная функция данной функции f(x) – такая функция F(x), производная которой на данном промежутке равна f(x).
Отыскание первообразной функции – операция, обратная дифференцированию, ее называют также интегрированием. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу.
Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от f(x). Обычно ее записывают в виде F(x) = Ф(х) + С, где Ф(х) – какая-нибудь первообразная (все равно какая), а С – произвольная постоянная величина.

Обычно первообразную отыскивают по правилам интегрирования с помощью таблицы основных интегралов – см. Неопределенный интеграл.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

$int_a^b f(x), dx = F(b) - F(a).$

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f иногда называют общим интегралом илинеопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

$int f(x), dx$

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всехx. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

$F(x) = int_a^x f(t),dt.$ функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке,если для всех Х из этого промежутка

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2xsin (1/x) — cos(1/x) с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x² sin(1/x) с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены черезэлементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

$int e^{-x^2},dx,qquad int frac{sin(x)}{x},dx,qquad intfrac{1}{ln x},dx.$

Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.

Свойства первообразной

Первообразная суммы равна сумме первообразных
Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции $f$ является непрерывность $f$ .
Необходимыми условиями являются принадлежность функции $f$ первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу.
У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого в нашем распоряжении имеется несколько методов:

линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами илинатуральным логарифмом,
интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям
метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
алгоритм Риша (Risch algorithm),
некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
при многоуровневом интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см.двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
вычислительные пакеты помогают автоматизировать некоторые или все вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
если функция не имеет элементарной первообразной (например, exp(x²)), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной $F'$ и выполнения всюду равенства $F'(x)=f(x)$ , иногда в определении используют обобщения производной.